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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Inhalt folgender Fläche:
Der Teil des Zylinders [mm] x^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] , der sich innerhalb des Zylinders [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] befindet.
Hinweis:
Man stelle die Fläche als Funktionsgraph f(x,y) mit (x,y) dar und benutze:
dS = [mm] \wurzel{1 + f_{x}^2 + f_{y}^2} [/mm] d(x,y) |
Hallo liebe Community,
Ich habe ein kleines Problem bei der Aufstellung der funktion f(x,y). Ich sehe ja das ich das gleichsetzen kann:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] => z = y
Somit erhalte ich eine funktion die nur von y abhängig ist....
Wenn ich nun so weiter mache ist mein [mm] f_{x}^2 [/mm] = 0 und ich habe:
dS = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Viele Grüße
Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter machen soll, da ich mir bei den Grenzen nicht sicher bin. Ich habe mir überlegt es in Zylinderkoordinaten umzurechnen, dann hätte ich die Grenzen:
0 < r < a und 0 < [mm] \mu [/mm] < [mm] 2\pi
[/mm]
mit:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{a}{r*\wurzel{2} dr } d\mu}
[/mm]
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> Berechnen Sie den Inhalt folgender Fläche:
> Der Teil des Zylinders [mm]x^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] , der sich
> innerhalb des Zylinders [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] befindet.
>
> Hinweis:
> Man stelle die Fläche als Funktionsgraph f(x,y) mit (x,y)
> dar und benutze:
> dS = [mm]\wurzel{1 + f_{x}^2 + f_{y}^2}[/mm] d(x,y)
> Hallo liebe Community,
> Ich habe ein kleines Problem bei der Aufstellung der
> funktion f(x,y). Ich sehe ja das ich das gleichsetzen kann:
> [mm]x^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] => z = y ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dieses Gleichsetzen sagt nur etwas über die Punkte der
Schnittkurve der beiden Zylinderflächen aus, ist also
allenfalls für die Bestimmung der Integrationsgrenzen
nützlich.
Aus [mm] z^2=y^2 [/mm] folgt übrigens nicht z=y , sondern nur |z|=|y| !
> Somit erhalte ich eine funktion die nur von y abhängig
> ist....
>
> Wenn ich nun so weiter mache ist mein [mm]f_{x}^2[/mm] = 0 und ich
> habe:
> dS = [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Viele Grüße
> Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter machen soll, da
> ich mir bei den Grenzen nicht sicher bin. Ich habe mir
> überlegt es in Zylinderkoordinaten umzurechnen, dann
> hätte ich die Grenzen:
> 0 < r < a und 0 < [mm]\mu[/mm] < [mm]2\pi[/mm]
> mit:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{a}{r*\wurzel{2} dr } d\mu}[/mm]
Ich würde eher beim gegebenen Ratschlag bleiben.
Für die Integration würde ich außerdem die Symmetrien
der geometrischen Situation nutzen, um nur einen Teil
der Fläche (z.B. denjenigen im Bereich [mm] x\ge0, y\ge0, z\ge0 [/mm] )
im Integral berücksichtigen zu müssen.
LG Al-Chw.
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> Berechnen Sie den Inhalt folgender Fläche:
> Der Teil des Zylinders [mm]x^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] , der sich
> innerhalb des Zylinders [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] befindet.
Möglicherweise helfen diese beiden Grafiken beim
Aufstellen des Integrals: ![[]](/images/popup.gif) Zylinderschnitt
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Also sagen wir x geht eben bis zu diesem a hätten wir das Gebiet:
G: { 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a , 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{ a^2 - x^2} [/mm] }
Aber für welches Integral dann?
F = 2 * [mm] \integral_{0}^{r}{\integral_{0}^{\wurzel{ a^2 - x^2}}{\wurzel{2} dy dx}} [/mm] ?
Gruß
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> Also sagen wir x geht eben bis zu diesem a hätten wir das
> Gebiet:
>
> G: 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] a , 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \wurzel{ a^2 - x^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber für welches Integral dann?
>
> F = 2 * [mm]\integral_{0}^{r}{\integral_{0}^{\wurzel{ a^2 - x^2}}{\wurzel{2} dy dx}}\quad?[/mm]
Nein, du hast doch die Funktion [mm] z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2} [/mm] und den
Integranden $\ dS\ =\ [mm] \wurzel{1 + f_{x}^2 + f_{y}^2}\ \,d(x,y)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Danke für die Hilfe :)
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![[]](http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/8/1781_Volumenintegral-Schnittmenge_zweier_Zylinder_AB_111920.png){kind=small}
Zylinderschnitt