Flächenberechnung mit Differen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:19 Di 07.12.2004 | | Autor: | Daox |
Hallo alle miteinander!
Leiden habe ich festgestellt, dass ich meine Aufzeichnungen nicht mehr entziffern kann und komme mit einer Aufgabe nicht mehr weiter...
Es handelt sich um logistisches Wachstum der Funktion 2/(1+e^(1-x)) mit k=0.5; G=2 und f'(x) = 0.5f(x)*(2-f(x))!
Könnte mir jemand eventuell zu einer Lösung verhelfen, oder Tipps geben.
Ich dachte mir bisher, dass man aus der Differentialgleichung mithilfe von Produktintegration weiterkommt und es dann so wie
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {0.5f'(x)*[2-f(x)] dx} = [mm] [0.5f(x)*(2-f(x))]|{a}^{b} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {0.5f(x)*[-f'(x)] dx}
jedoch ist das die Fläche der Ableitung, mit der Stammfunktion bin ich bisher aber nicht zurechgekommen.
Danke.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
Ich denke man sollte hier lieber mit erweiterung arbeiten, wie mir jetzt aufgefallen ist.
Also dann:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {2/(1+e^(1-x)) dx}
=2 [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {1/(1+e^(1-x)) dx} |mit [mm] e^x [/mm] erweitern (Abeitung)
= [mm] 2\integral_{a}^{b} {e^x/(e^x+e) dx} [/mm] | [mm] v=e^x+e
[/mm]
= [mm] 2\integral_{v(a)}^{v(b)} [/mm] {1/(v) dv}
= 2[ln|v|] mit den Grenzen v(a) bis v(b)
Aber ginge es vielleicht trotzdem mit der Differentialgleichung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Di 28.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Die Integration hab ich geschafft, aber ich habe noch eine Konstante drin, die ich nicht bestimmen kann...
Naja, dann mal die Integration. An einer Stelle habe ich verwendet, dass für die Funktion gelten soll: [mm]f(x)>0[/mm].
Deinen Ansatz in der Frage hatte ich nicht ganz verstanden, die DGL heißt ja [mm]y' = \bruch{1}{2} \cdot y \cdot (2 - y)[/mm], und in deinem Versuch mit partieller Integration stand plötzlich da [mm]\integral{0,5 \cdot f'(x)....}[/mm].
Ich habe mit Trennung der Variablen begonnen, also erstmal das [mm]y'[/mm] umgeschrieben als [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm], und trenne dann auf beiden Seiten: alles "mit x" auf eine, alles "mit y" auf die andere Seite:
[mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{2} \cdot y \cdot (2-y)[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\bruch{dy}{\bruch{1}{2} \cdot y \cdot (2-y)}=dx[/mm].
Jetzt auf beiden Seiten ein Integral dran: [mm]\integral{\bruch{dy}{\bruch{1}{2} \cdot y \cdot (2-y)}}=\integral{dx}[/mm] , wobei ich das zweite Integral auch umschreiben kann zu [mm]\integral{1 \cdot dx}[/mm].
Den Bruch [mm]\bruch{2}{y \cdot (2-y)}[/mm] (habe den Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] einfach in den Zähler gezogen) auf der linken Seite trenne ich jetzt mittels Partialbruchzerlegung:
[mm]\bruch{2}{y \cdot (2-y)} = \bruch{A}{y} + \bruch{B}{2-y}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A=1[/mm] , [mm]B=1[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\bruch{2}{y \cdot (2-y)} = \bruch{1}{y} + \bruch{1}{2-y}[/mm]. (Falls die PBZ unklar sein sollte, einfach nachfragen)
Die Integralgleichung lautet also: [mm]\integral{(\bruch{1}{y} + \bruch{1}{2-y})dy} = \integral{1 \cdot dx}[/mm]
Das kann man jetzt auf beiden Seiten integrieren, dann die Rechenregel [mm]ln(a)-ln(b)=ln(\bruch{a}{b})[/mm], und dann [mm]e^{...}[/mm] auf beiden Seiten, um die y-Funktion vom ln zu befreien:
[mm]ln(y)-ln(2-y)=x+c[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]ln(\bruch{y}{2-y})=x+c[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\bruch{y}{2-y}=e^{x+c}[/mm].
Jetzt müssen wir das y nur noch isolieren:
[mm]\bruch{y}{2-y}=e^{x+c}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y = (2-y) \cdot e^{x+c}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y \cdot (1+e^{x+c}) = 2 \cdot e^{x+c}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y = \bruch{2 \cdot e^{x+c}}{1+e^{x+c}}[/mm].
Durch Vergleich mit deiner "fertigen" Funktion kann man leicht zeigen, dass unsere beiden Funktionen identisch sind, wenn [mm]c=-1[/mm] ist.
Aber wie ich das aus den Angaben bestimmen kann, hab ich nicht rausgefunden.
Hab's darüber versucht, dass [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}{y}=2[/mm] sein muss, aber das ist generell der Fall, unabhängig vom c.
Verrechnet hab ich mich wohl nicht, denn meine gefundene Funktion löst deine DGL, kannst du leicht nachrechnen.
Also da müsste sich jemand anders nochmal damit beschäftigen, mir fällt jetzt nichts mehr ein, was uns das [mm]c=-1[/mm] liefern könnte.
|
|
|
|
