Flächenberechnung von ln(x)-1 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
| Aufgabe | | Die Kurve y=|ln(x)|-1 schließt zusammen mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den eingeschlossenen Flächeninhalt. |
Hallo,
die Stammfunktion von f(x) = |ln(x)|-1 ist F(x) = x*ln(x)-2x.
Hoffe das stimmt soweit?
Und ich weiß jetzt nicht genau, welche Grenzen ich für das Integral setzen soll, um die Fläche zu berechnen?
Ich habe eine Vermutung, und zwar, dass die obere Grenze e(x) und die untere Grenze x --> 0 (x geht gegen 0) ist.
Danke schonmal für die Hilfe,
rockzana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Kurve y=|ln(x)|-1 schließt zusammen mit der x-Achse
> eine Fläche ein.
> Berechnen Sie den eingeschlossenen
> Flächeninhalt.
> Hallo,
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> die Stammfunktion von f(x) = |ln(x)|-1 ist F(x) =
> x*ln(x)-2x.
> Hoffe das stimmt soweit?
Nur zum Teil. Es stimmt nicht für alle x-Werte, die
man in der Aufgabe braucht.
> Und ich weiß jetzt nicht genau, welche Grenzen ich für
> das Integral setzen soll, um die Fläche zu berechnen?
>
> Ich habe eine Vermutung, und zwar, dass die obere Grenze
> e(x) und die untere Grenze x --> 0 (x geht gegen 0) ist.
>
> Danke schonmal für die Hilfe,
> rockzana
Hallo rockzana,
du solltest die Integrationsgrenzen nicht mittels
Vermutungen und Ratespielen finden, sondern
durch klare Überlegungen.
Erstelle dafür zunächst mal eine Zeichnung mit
dem Graph der gegebenen Funktion im x-y-Koor-
dinatensystem !
Als nächsten Schritt musst du dann die Nullstellen
dieser Funktion berechnen.
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Hallo Al-Chwarizmi,
die Kurve hatte ich schon gezeichnet. Und daraufhin die Vermutung angestellt.
Durch Nullstellenberechnung komme ich auf x = e
Damit ist eine Grenze bestätigt.
Aber wir komme ich nun auf die andere?
LG
rockzana
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> die Kurve hatte ich schon gezeichnet. Und daraufhin die
> Vermutung angestellt.
>
> Durch Nullstellenberechnung komme ich auf x = e
> Damit ist eine Grenze bestätigt.
> Aber wir komme ich nun auf die andere?
Falls du die Kurve richtig gezeichnet hast (insbesondere
was die Betragsstriche betrifft), dann sollte dir die
Zeichnung helfen, auch für die andere Nullstelle eine
Gleichung aufzustellen.
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Ah, okay Betragsstriche nicht beachtet.
Dann sieht die Funktion natürlich ganz anders aus.
Dann habe ich nun die NST: x1 = [mm] e^1 [/mm] und x2= [mm] e^{-1}
[/mm]
x1 folgt aus ln(x)-1=0 und x2 folgt aus -ln(x)-1=0.
Und was genau war nun an der Stammfunktion nicht richtig?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 08.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Ah, okay Betragsstriche nicht beachtet.
> Dann sieht die Funktion natürlich ganz anders aus.
>
> Dann habe ich nun die NST: x1 = [mm]e^1[/mm] und x2= [mm]e^{-1}[/mm]
>
> x1 folgt aus ln(x)-1=0 und x2 folgt aus -ln(x)-1=0.
>
> Und was genau war nun an der Stammfunktion nicht richtig?
>
> LG
Stelle deine Funktion OHNE Betragsstriche dar.
Dazu musst du sie getrennt betrachten
-für x<1
-für x$ge$1.
Erst dann kannst du im jeweiligen Intervall die Stammfunktion bilden.
Gruß Abakus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Also gilt
für x<1: ln(x) nicht definiert
für x>1: [mm] \integral_{e^{-1}}^{e}{ln(x)-1 dx} [/mm] = [mm] |[x*ln(x)-2x]^ee^{-1}|
[/mm]
= [mm] |(e*ln(e)-2e)-(e^{-1}*ln(e^{-1})-2*e^{-1}|
[/mm]
[mm] =|-e+3e^{-1}| [/mm] FE
Ist das Ergebnis richtig?
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Hallo, ln(0,8) ist wohl definiert, du suchst also immer noch die Stammfunktion zu f(x)=|ln(x)|-1, dazu ist eine Fallunterscheidung notwendig
(1)
[mm] x\ge1
[/mm]
f(x)=ln(x)-1
F(x)=x*ln(x)-2x
(2)
0<x<1
f(x)=-ln(x)-1
F(x)=-x*ln(x)
die Fläache zwischen Funktion und x-Achse ist also in zwei Intervallen mit jeweils anderer Stammfunktion zu berechnen, deine Nullstellen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] und e sind korrekt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Danke, jetzt ist mir das schon klarer.
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Hi Steffi,
ich möchte Dir einmal ein Kompliment machen für
die tollen und sorgfältig erstellten Zeichnungen, die
Du hier immer wieder lieferst !
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Ich muss mich korrigieren,
ln(x) ist für x<1 definiert, nur nicht für x<0.
So mit 1. Fall (x>1): F(x)=x*ln(x)-2x und 2.Fall (0<x<1): F(x)=-x*ln(x) und deren jeweilige Flächenberechnung, komme ich auf eine Gesamtfläche von [mm] 2(e+\bruch{1}{e}) [/mm] FE
Danke an alle, die geholfen haben 
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Hallo rockzana,
> Ich muss mich korrigieren,
> ln(x) ist für x<1 definiert, nur nicht für x<0.
Eben.
> Dann müsste die Stammfunktion ja so stimmen.
Beachte Steffis Hinweis: Fallunterscheidung (nämlich $x<1$ und [mm] $x\ge{1}$)
[/mm]
> Und dann müsste das Ergebnis auch richtig sein?
Nein, noch nicht.
Beachte: [mm] e^{-1}<1
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Di 08.01.2013 | | Autor: | rockzana |
So mit 1. Fall (x>1): F(x)=x*ln(x)-2x und 2.Fall (0<x<1): F(x)=-x*ln(x) und deren jeweilige Flächenberechnung, komme ich auf eine Gesamtfläche von $ [mm] 2(e+\bruch{1}{e}) [/mm] $ FE
Danke an alle, die geholfen haben
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Hallo nochmal,
ich glaube, Du kannst das eigentlich, Du hast es nur zu eilig.
> So mit 1. Fall (x>1): F(x)=x*ln(x)-2x und 2.Fall (0<x<1): <br="">> F(x)=-x*ln(x) und deren jeweilige Flächenberechnung, komme
> ich auf eine Gesamtfläche von [mm]2(e+\bruch{1}{e})[/mm] FE
Das wären also über den Daumen 6 FE.
Wirf nochmal einen Blick auf Steffis Plot. Die Fläche ist nur knapp 2,5 breit und 1 hoch und in etwa dreieckig ("kurvige" Ränder einfach mal begradigt), sollte also einen Flächeninhalt von etwa 1,25 FE haben.
> Danke an alle, die geholfen haben
Du bist noch nicht fertig!
Überprüf doch Deine Rechnungen mal selbst, das solltest Du Dir sowieso angewöhnen - und wie gesagt: ich habe den starken Eindruck, dass Du das auch kannst!
Grüße
reverend
</x<1):>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 10.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Hallo reverend,
habe die Berechnungen nochmal überarbeitet, habe die Grenzen für die jeweilige Flächenberechnung falsch angesetzt.
Nun ist für 0<x<1 der Flächeninhalt [mm] |-\bruch{1}{e}|
[/mm]
Für x>1: |2-e|
Somit Gesamtflächeninhalt: [mm] |2-e-\bruch{1}{e}| \approx [/mm] 1,08 FE
Ich denke doch, dass es jetzt richtig ist?!
Gruß,
rockzana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 10.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend,
>
> habe die Berechnungen nochmal überarbeitet, habe die
> Grenzen für die jeweilige Flächenberechnung falsch
> angesetzt.
>
> Nun ist für 0<x<1 der Flächeninhalt [mm]|-\bruch{1}{e}|[/mm]
> Für x>1: |2-e|
>
> Somit Gesamtflächeninhalt: [mm]|2-e-\bruch{1}{e}| \approx[/mm] 1,08
> FE
>
> Ich denke doch, dass es jetzt richtig ist?!
Ja, aber ich habe das Gefühl, dass Dir Beträge noch nicht so ganz vertraut sind
Fläche= [mm] |-\bruch{1}{e}|+|2-e|=\bruch{1}{e}+e-2
[/mm]
FRED
>
> Gruß,
> rockzana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 10.01.2013 | | Autor: | rockzana |
Doch sind sie.
Aber man kann es doch auch so aufschreiben, oder ist das dann mathematisch nicht korrekt, obwohl letztendlich das gleiche Ergebnis heraus kommt?
Gruß,
rockzana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 10.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Doch sind sie.
> Aber man kann es doch auch so aufschreiben, oder ist das
> dann mathematisch nicht korrekt, obwohl letztendlich das
> gleiche Ergebnis heraus kommt?
Es ist korrekt.
FRED
>
> Gruß,
> rockzana
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