Flächengleiche Dreiecke < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 So 24.04.2011 | | Autor: | Samie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage bezieht sich nicht auf eine konkrete Fragestellung, sondern auf einen geometrischen Beweis:
"Wenn man über jeder Seite eines Dreiecks ein Quadrat konstruiert und die Eckpunkte der Quadrate miteinander verbindet, so entstehen flächeninhaltsgleiche Dreiecke, die auch den gleichen Flächeninhalt wie das Ursprungsdreieck besitzen." Diese Tatsache soll (am Besten geometrisch) bewiesen werden.
Einen algebraischen Weg habe ich schon gefunden mit dem Satz von Klein:
1/2 ab ∙sinγ = 1/2 ab∙sin〖(180°-γ)〗
Einen geometrischen habe ich auch schon gefunden:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Es geht aber darum noch weitere zu finden, da das große Ziel ist N-Ecke zu finden, die NICHT regelmäßig sind und die gleichen Eigenschaften aufweisen. Also über deren Seiten man auch Quadrate konstruieren kann, die beim Verbinden der Eckpunkte flächengleiche Dreiecke hervorbringen.
Ein großes Fragezeichen für mich ist die Bestimmung der unbekannten Seiten der drei entstandenen Dreiecke. Über die man bestimmt noch weiter arbeiten könnte. Der Kosinussatzhilft in meinem Fall nicht viel weiter. (meine ich...)
Beim Probieren habe ich herausgefunden, dass die Höhen der neuen Dreiecke auf den unbekannten Seiten die Seitenhalbierenden des Ursprungsdreiecks sind. Also den Schwerpunkt ergeben.
Datei-Anhang
Verwerten konnte ich diese Erkenntnis bisher nicht...
Außerdem kann ich mir nicht vorstellen, dass sich zu diesem Thema bisher noch kein großer Denker Gedanken gemacht hat. Ich finde aber keine Literatur dazu, weil ich nicht weiß, welch Namen das Kind trägt. Das zu erfahren würde bei der weiteren Recherche bestimmt nützlich sein.
Das Ganze findet doch bestimmt auch Anwendung in der Praxis?! z.B. Bauwesen, Architektur, etc...
Vielen Dank im Voraus allen Mitdenkern!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 24.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Samie,
ich kann geogebra-Dateien nicht lesen, und andere können das vielleicht auch nicht. Hast Du noch eine Fassung z.B. als png oder pdf?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 24.04.2011 | | Autor: | Samie |
Hallo reverend,
habe ich einen Doppelpost gemacht? Zweimal was eingestellt? Ich versuche mich hier grad in der Matheforenwelt freizuschwimmen. =)
Okay, wenn Dynageo nich mag, dann kommen hier die Zeichnungen nochmal komprimiert als pdf (hoffentlich). Ich probiers...
viele Grüße und danke schomal!
Samie
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Die fehlenden Seiten sind doppelt so groß wie die Seitenhalbierenden des Ausgangsdreiecks, auf denen sie senkrecht stehen. Für die Seitenhalbierenden des Dreiecks gilt
[mm]s_a = \frac{1}{2} \sqrt{-a^2 + 2b^2 + 2c^2} \, , \ \ s_b = \frac{1}{2} \sqrt{-b^2 + 2c^2 + 2a^2} \, , \ \ s_c = \frac{1}{2} \sqrt{-c^2 + 2a^2 + 2b^2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Samie |
Hallo Leopold_Gast,
vielen Dank für die schnelle Antwort! Kannst Du mir auch noch sagen, warum die Seiten zweimal so groß sind? Ich bin hier am rumtüfteln und steh, denk ich, nur aufm Schlauch. Ich kriegs nicht raus...
vielen Dank im Voraus! Samie
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Betrachten wir das Dreieck, das zwischen den Quadraten über der Seite [mm]AB[/mm] und der Seite [mm]AC[/mm] liegt. Eine seiner Ecken ist [mm]A[/mm], diejenige Ecke, die auf dem Quadrat über [mm]AB[/mm] liegt, heiße [mm]B^{\bot}[/mm], und diejenige, die auf dem Quadrat über [mm]AC[/mm] liegt, heiße [mm]C^{\bot}[/mm]. Ich führe die folgenden Vektoren ein.
[mm]\vec{b} = \overrightarrow{AC} \, , \ \ \vec{c} = \overrightarrow{AB}[/mm]
[mm]\vec{b}^{\, \bot} = \overrightarrow{AC^{\bot}} \, , \ \ \vec{c}^{\, \bot} = \overrightarrow{B^{\bot}A}[/mm]
Ferner sei [mm]M[/mm] die Seitenmitte der Strecke [mm]BC[/mm]. Mit diesen Bezeichnungen gilt:
[mm]\overrightarrow{B^{\bot}C^{\bot}} = \vec{b}^{\, \bot} + \vec{c}^{\, \bot}[/mm]
[mm]\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \left( \vec{b} + \vec{c} \right)[/mm]
Für die zweite Gleichung betrachte das von den Vektoren [mm]\vec{b}, \vec{c}[/mm] aufgespannte Parallelogramm. Die Seitenhalbierende AM des Dreiecks ist die halbe Diagonale des Parallelogramms.
Da die Vektoren [mm]\vec{b}^{\, \bot}[/mm] und [mm]\vec{c}^{\, \bot}[/mm] gegenüber den Vektoren [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] um 90° in gleicher Orientierung gedreht sind, gilt das auch für die entsprechenden Vektorsummen. Mit den beiden Gleichungen ist alles gezeigt: Erstens stehen [mm]\overrightarrow{B^{\bot}C^{\bot}}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] senkrecht aufeinander, und zweitens ist der erste Vektor doppelt so lang wie der zweite.
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