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| Aufgabe | Skizziere die Funktionen f(x)=1/x und [mm] g(x)=\wurzel{x}. [/mm] WO und unter welchem Winkel schneiden sie einander?
Wo muss man die Fläche zwischen f,g und der x-Achse vertikal durchschneiden, damit der Flächeninhalt A=5/3 E² beträgt?...
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Ja skizziert, Schnittpunkt und Schnittwinkel haben ich bereits gezeichnet bzw. gerechnet.
Meine Frage nun, wie kann ich den zweiten Teil der Aufgabenstellung lösen?
Bitte helft mir weiter!!!!
DankkkeEEE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst die Fläche (ich hoffe, du weißt welche überhaupt gemeint ist!)
in 2 Teile aufspalten, da die Randfunkton bei x=1 (die Schnittstelle) wechselt.
Von 0 bis 1 musst du die Fläche zwischen einer Funktion und der a-Achse berechnen und von 0 bis a den der 2. Fläche (das a musst du ja berechnen).
[mm] A=\bruch{5}{3} [/mm] sollen rauskommen.
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hm
könntest du mir vielleicht das etwas genauer erklären?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
Sieh Dir doch mal Deine Skizze genauer an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beschriebene Fläche berechnet sich nun zu:
$$A \ = \ [mm] \bruch{5}{3} [/mm] \ = \ [mm] A_1+A_2 [/mm] \ = \ [mm] \integral_0^1{\wurzel{x} \ dx}+\integral_1^{a}{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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sehr gut die erste fläche habe ich mit 2/3 berechnet!
das dürfte wohl stimmen!
wie soll ich jetzt bei der zweiten fläche vorgehen, da ich ja a nicht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
> sehr gut die erste fläche habe ich mit 2/3 berechnet!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie soll ich jetzt bei der zweiten fläche vorgehen, da ich
> ja a nicht habe?
Dann muss ja für das 2. Integral lauten: [mm] $\integral_1^{a}{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{3}-\bruch{2}{3} [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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wenn ich beide flächen adiere erhalte ich 5/3 - 1/a
nachdem ich im 2 integral
[mm] \integral_{1}^{a}{1/a * dx}
[/mm]
gerechnet habe!!!!
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Hallo, du hast ja schon das 1. Integral mit [mm] \bruch{2}{3}, [/mm] somit ist [mm] \integral_{1}^{a} \bruch{1}{x}dx=1, [/mm] jetzt die Stammfunktion ermitteln und ein Logarithmengesetz anwenden.
Steffi
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wieso ist das 2 integral sofort ohne zu rechnen 1????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . . . meine Antwort
Da Du für die Teilfläche den Wert [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] errechnet hast, verbleibt für die 2. Teilfläche der Wert [mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{3}-\bruch{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 So 28.10.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{x} dx}+\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}=\bruch{5}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}+\bruch{3}{3}=\bruch{5}{3}
[/mm]
das 1. Integral mit [mm] \bruch{2}{3} [/mm] hattest du doch schon, somit muß das zweite Integral [mm] \bruch{3}{3} [/mm] also 1 betragen,
Steffi
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$ [mm] \integral_1^{a}{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{3}-\bruch{2}{3} [/mm] \ = \ 1 $
2/3 bekomme ich beim ersten integral heraus, doch wie kommst du darauf das das 2 integral sowieso 1 sein muss und vor allem wieso zieht man 2/3 ab...ich steh auf der leitung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
[mm] $$\integral_1^{a}{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{3}-\bruch{2}{3} [/mm] \ = \ 1$$
Diese Gleichung hat bisher noch nichts mit Integration zu tun. Der Wert [mm] $\bruch{5}{3}$ [/mm] kommt aus der Aufgabenstellung für die betrachtete Gesamtfläche.
Und den Wert [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] hast Du selber berechnet für die erste Teilfläche.
Du musst nun also hier die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] bestimmen, die beiden Grenzen $1_$ und $a_$ einsetzen und anschließend nach $a \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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gut, die stammfunktion habe ich berechnet Log[x]
... und jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 So 28.10.2007 | | Autor: | Steffi21 |
und jeztzt die Grenzen einsetzen ln(a)-ln(1)=1, Steffi
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hm also wie soll ich das ins integral einsetzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Steffie war doch sogar schon einen Schritt weiter!
Naja also: wir waren soweit:
[mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}=1
[/mm]
[mm] (\bruch{5}{3} [/mm] Fläche brauchen wir, [mm] \bruch{2}{3} [/mm] hast du schon für den 1. Teil der Fläche richtig ausgerechnet, also muss dieses Integral hier eine Fläche von [mm] \bruch{3}{3}=1 [/mm] haben)
[mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}=[ln|x|]_1^a=ln|a|-ln|1|=1
[/mm]
(nun sind wir bei Steffis Gleichung)
ln|1|=0
ln|a|=1
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ich will nur wissen was ich staat a einsetzen soll
1 - `????? integrieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ja, a musst du ja ausrechnen!
ln|a|=1 [mm] |e^x
[/mm]
[mm] e^{ln|a|}=e^1
[/mm]
|a|=e
[mm] a=\pm [/mm] e, aber in der Zeichnung siht man ja, dass a>1 sein muss.
Also a=e.
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und welche zahl muss ich jetzt für a einsetzen?..
ich sollte es auch verstehen, bin kein mathe genie so wie ihr :'(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Das Ergebnis steht da! a=e=2,7... e ist dir Eulersche Zahl! Also eine Konstante.
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jetzt musst du mir nur mehr sagen wie ich auf e komme? :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Das ist die Lösung der Gleichung ln(a)=1.
ln ist der natürliche Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, also [mm] log_e.
[/mm]
log_ea=1 [mm] |e^x
[/mm]
[mm] e^{log_ea}=e
[/mm]
[mm] e^{log_ea}=a [/mm] (Logarithmusgesetz)
a=e
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blöde frage aber könntest du mir in einem die "formel" für die fläche hinschreiben A1 + A2 ... ich hab schon einen schädl ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] A=\integral_{0}^{1}{\wurzel{x} dx}+\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x}dx}=\bruch{5}{3}
[/mm]
Meinst du die?
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denke schon, also das ist die komplette lösung für die aufgabe oder?..
jkann ich sie sie so morgen meinem lehrer abgeben?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Nein!
Das war nur die Ausgangsformel. Du musst ja das a ausrechnen, das wir ja schon gemacht haben.
Also gilt:
[mm] A=\integral_{0}^{1}{\wurzel{x} dx}+\integral_{1}^{e}{\bruch{1}{x}dx}=\bruch{5}{3}
[/mm]
da a=e.
Wo muss nun also die vertikale Gerade die Fläche abgrenzen??
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weis ich leider nicht wo dies geschieht!!!
wenn der lehrer mich fragt wieso e was soll ich da sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Geh einfach nochmal den ganzen Thread durch und sag dann, wo es hapert. Die Lösung steht komplett hier.
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im prinzip verstehe ich es ja auch bis zum zweiten teil der fläche, nämlic hwieso auf einmal ein log ins spielt kommt....thx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Das liegt daran, dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] integriert ln|x| ist!
Wenn ihr das noch nicht hattet, dann kann dein lehrer auch sicher kein Ergebnis erwarten.
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darauis folgt also das ln[x] = e ist oder wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
Der Wert $a \ = \ e$ entsteht aus der Umformung der Gleichung [mm] $\ln(a) [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Nein.
Aus
[mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}=[ln|x|]_1^a=1
[/mm]
folgt
ln|a|-ln1=1.
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