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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | | f(x) = 4 [mm] -kx^{2} [/mm] ,k grösser 0, Flächeninhalt des graphen mit der x-Achse soll 8 ergeben |
Hallo
Nullstelle
0 = 4 [mm] -kx^{2}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{k}
[/mm]
x = [mm] \pm \bruch{2}{\wurzel{k}}
[/mm]
8 = 2* [mm] (\integral_{0}^{\bruch{4}{k}}{4 -kx^{2}}
[/mm]
8 = [mm] 2*(\bruch{8}{\wurzel{k}} [/mm] - [mm] \bruch{8}{3\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] 24\wurzel{k} [/mm] = 48 - 16
[mm] \wurzel{k} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
k = [mm] \bruch{16}{9}
[/mm]
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> f(x) = 4 [mm]-kx^{2}[/mm] ,k grösser 0, Flächeninhalt des graphen
> mit der x-Achse soll 8 ergeben
> Hallo
>
>
> Nullstelle
>
> 0 = 4 [mm]-kx^{2}[/mm]
>
> [mm]x^{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{k}[/mm]
>
> x = [mm]\pm \bruch{2}{\wurzel{k}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 8 = 2* [mm](\integral_{0}^{\bruch{4}{k}}{4 -kx^{2}}[/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]8 = 2* \integral_{0}^{\red{\bruch{2}{\wurzel{k}}}}{4 -kx^{2}}[/mm]
>
> 8 = [mm]2*(\bruch{8}{\wurzel{k}}[/mm] - [mm]\bruch{8}{3\wurzel{k}}[/mm]
>
> [mm]24\wurzel{k}[/mm] = 48 - 16
> [mm]\wurzel{k}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> k = [mm]\bruch{16}{9}[/mm]
Das Ergebnis ist richtig.
>
> Danke
> Gruss Dinker
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Dinker |
Wie muss k gewählt werden, dass der Flächeninhalt maximal wird?
Nullstelle hatte ich:
x = [mm] \bruch{2}{\wurzel{k}}
[/mm]
A = [mm] 2*(\integral_{0}^{\bruch{2}{\wurzel{k}}}{4 - kx^{2} dx})
[/mm]
A = [mm] -\bruch{8}{3\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{8}{\wurzel{k}}
[/mm]
A' = [mm] \bruch{4}{3k^{1.5}} [/mm] - [mm] \bruch{4}{k^{1.5}} [/mm] Nun darf ich wohl nicht einfach [mm] 3k^{1.5} [/mm] multiplizieren...
0 = [mm] \bruch{4}{k^{1.5}} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] - 1)
0 = [mm] \bruch{4}{k^{1.5}} [/mm] * (2/3)
Irgendwie scheint das auch nicht zu klappen
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Nullstelle hatte ich:
> x = [mm]\bruch{2}{\wurzel{k}}[/mm]
>
> A = [mm]2*(\integral_{0}^{\bruch{2}{\wurzel{k}}}{4 - kx^{2} dx})[/mm]
> A = [mm]-\bruch{8}{3\wurzel{k}}[/mm] + [mm]\bruch{8}{\wurzel{k}}[/mm]
Wo ist der Faktor 2 vor dem Integral hin?
Und dann kannst Du hier vor dem Ableiten die beiden Brüche zusammenfassen.
> A' = [mm]\bruch{4}{3k^{1.5}}[/mm] - [mm]\bruch{4}{k^{1.5}}[/mm] Nun darf ich
> wohl nicht einfach [mm]3k^{1.5}[/mm] multiplizieren...
Warum nicht, wenn $k \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
> 0 = [mm]\bruch{4}{k^{1.5}}[/mm] * [mm](\bruch{1}{3}[/mm] - 1)
>
> 0 = [mm]\bruch{4}{k^{1.5}}[/mm] * (2/3)
Vorzeichenfehler in der Klammer.
> Irgendwie scheint das auch nicht zu klappen
Es scheint hier gar kein Extremum zu geben ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Dinker |
D. h. ich sollte mir den Graphen mal aufzeichnen und schauen, wo der Graph die hächste Y-Koordinate hat?
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Hallo,
der Faktor 2 vor dem Integral spielt nicht die entscheidende Rolle, die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, die Ableitung besagte ja
[mm] A'(k)=-\bruch{8}{3}k^{-1.5}
[/mm]
wird nun diese 1. Ableitung gleich Null gesetzt, so ergibt sich k=0, du erhälst eine Parallele zur x-Achse mit y=4, laut Aufgabenstellung gilt aber k>0, somit bekommst du den maximalen Flächeninhalt, wenn k gegen Null geht,
Steffi
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