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| Aufgabe | Zeige, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlänegen a,b,c
[mm] F^{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16} [/mm] det [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & c^{2} & b^{2}\\ 1 & c^{2} & 0 & a^{2} \\ 1 & b^{2} & a^{2} & 0}
[/mm]
beträgt. |
Also ich komme nicht wirklich weiter könnt ihr mir bitte einen Denkanstoß geben? Ich habe zunächst die Determinante ausgerechnet und diese beträgt ja [mm] c^{2}*a^{2}+b^{4}-c^{4}+a^{4}.
[/mm]
Wie komme ich denn jetzt weiter ???
Vielen lieben Dank für eure Mühe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den
> Seitenlänegen a,b,c
>
> [mm]F^{2}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{16}[/mm] det [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & c^{2} & b^{2}\\ 1 & c^{2} & 0 & a^{2} \\ 1 & b^{2} & a^{2} & 0}[/mm]
>
> beträgt.
> Also ich komme nicht wirklich weiter könnt ihr mir bitte
> einen Denkanstoß geben? Ich habe zunächst die
> Determinante ausgerechnet und diese beträgt ja
> [mm]c^{2}*a^{2}+b^{4}-c^{4}+a^{4}.[/mm]
rechne doch mal "elementargeometrisch":
Ist [mm] $h=h_c$ [/mm] die Länge der Höhe auf die Seite [mm] $c\,,$ [/mm] so berechnet sich die Dreiecksfläche [mm] $A_\Delta$ [/mm] zu [mm] $A_\Delta=c*h_c/2\,.$ [/mm] Nun sei [mm] $c=c_1+c_2\,.$ [/mm] Nach Pythagoras gilt (wenn Du Dir eine Skizze machst und die Seiten entsprechend meiner Rechnung benennst)
[mm] $$h^2+c_2^2=a^2$$
[/mm]
und
[mm] $$h^2+c_1^2=b^2\,.$$
[/mm]
Das liefert einerseits
[mm] $$(c_1-c_2)(c_1+c_2)=b^2-a^2\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(\*)\;\;\;c(c_1-c_2)=b^2-a^2\,,$$
[/mm]
und andererseits
[mm] $$2h^2=a^2+b^2-(c_1^2+c_2^2)\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(\*\*)\;\;\;2h^2=a^2+b^2-c^2+2c_1c_2\,.$$
[/mm]
Quadriere nun [mm] $(\*)$ [/mm] und löse die so entstandere Gleichung nach [mm] $4c_1c_2$ [/mm] auf (beachte dabei [mm] $(c_1-c_2)^2=c^2-4c_1c_2\,.$). [/mm] Das kannst Du dann in [mm] $(\*\*)$ [/mm] einsetzen.
Danach multipliziere [mm] $(\*\*)$ [/mm] mit [mm] $2c^2\,,$ [/mm] und dann schaue, wie Du [mm] $A_\Delta=c*h_c/2$ [/mm] wiederfindest...
P.S.
Die obige Determinante hast Du falsch berechnet, sie ist
[mm] $$=a^4+b^4+c^4-2c^2a^2-2c^2b^2-2b^2a^2\,.$$
[/mm]
Du kannst es gerne nochmal vorrechnen - irgendwo hast Du sicher Vorzeichenfehler gemacht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 25.04.2012 | | Autor: | weduwe |
auch ich erhalte
[mm] F^2=\frac{1}{16}\cdot(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4)
[/mm]
das könnte man nun einfach mit der heronschen flächenformel vergleichen
[mm]A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s--c)}[/mm] mit [mm]s=\frac{a+b+c}{2}[/mm]
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