Flächeninhalt Dreieck im KS < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.1 Der Eckpunkt Cn von Dreiecken ABCn mit A(5/1) und B(3/5) wandert auf der Parabel p1 mit der Gleichung y=x² und der Eckpunkt Dn von Dreiecken ABDn auf der Parabel p2 mit y=-x². Zeichne beide Parabeln für-3 kleinergleich x kleinergleich3 in ein Koordinatensystem.
1.2 Trage die Dreiecke ABC1 mit C1(-2,5/?) und ABD1 mit D1(2,5/?) in deine Zeichnung ein und berechne ihre Flächeninhalte.
1.3 Die Dreiecke ABCo und ABDo besitzen jeweils den größten bzw. kleinsten Flächeninhalt unter den Dreiecken der Dreieckschar, der sie angehören. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte Co und Do und die Flächeninhalte und gib an, welches Dreieck das flächenkleinste bzw. flächengrößte ist. Trage beide Dreiecke in die Zeichnung ein. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich bin Lehramtstudent und wollte heute meinem Cousin in Mathe helfen, musste aber peinlicherweise leider passen. Das ganze Vektorenzeugs weiß ich nicht mehr richtig.
Ab da wo bei 1.2 der Flächeninhalt ins Spiel kommt weiß ich dann überhaupt nicht mehr weiter!
:-(
kann mir jemand bitte helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Fr 25.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie fehlt die aAngabe wo A und B liegen?
Mit Vektorrechnung hat das wenig zu tun. such einfach eine Seite von der man die Hoehe kennt. Wenn AB auf der x-Achse liegt ist das ja einfach.
Gruss leduart
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Sorry ich bin wohl irgendwie beim Abschreiben verrutscht. Hier nochmal der erste Satz:
1.1 Der Eckpunkt Cn von Dreiecken ABCn mit A(5/1) und B(3/5) wandert auf der Parabel p1 mit der Gleichung y=x² und der Eckpunkt Dn von Dreiecken ABDn auf der Parabel p2 mit y=-x².
Abschnitt 1.2 und 1.3 hab ich richtig abgeschrieben
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:53 Sa 26.09.2009 | | Autor: | crimsonlove |
Huhu, kann mir niemand helfen?
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> 1.1 Der Eckpunkt Cn von Dreiecken ABCn mit A(5/1) und
> B(3/5) wandert auf der Parabel p1 mit der Gleichung y=x²
> und der Eckpunkt Dn von Dreiecken ABDn auf der Parabel p2
> mit y=-x². Zeichne beide Parabeln für-3 kleinergleich x
> kleinergleich3 in ein Koordinatensystem.
>
> 1.2 Trage die Dreiecke ABC1 mit C1(-2,5/?) und ABD1 mit
> D1(2,5/?) in deine Zeichnung ein und berechne ihre
> Flächeninhalte.
>
> 1.3 Die Dreiecke ABCo und ABDo besitzen jeweils den
> größten bzw. kleinsten Flächeninhalt unter den Dreiecken
> der Dreieckschar, der sie angehören. Berechne die
> Koordinaten der Eckpunkte Co und Do und die Flächeninhalte
> und gib an, welches Dreieck das flächenkleinste bzw.
> flächengrößte ist. Trage beide Dreiecke in die Zeichnung
> ein.
Hallo crimsonlove,
ich nehme einmal an, dass du die Zeichnung gemacht
hast. In einer anderen Diskussion ging es gerade um
eine Formel für den Flächeninhalt von Parallelogrammen
in der x-y-Ebene:
Determinante und Parallelogrammfläche
Da jedes Dreieck als halbes Parallelogramm gesehen
werden kann, lassen sich damit auch Dreiecksflächen
berechnen.
Um die Punkte [mm] C_o [/mm] und [mm] D_o [/mm] auf den beiden Parabeln
zu finden, brauchst du wohl die Idee, dass ein Dreieck
mit gegebener Grundlinie [mm] \overline{AB} [/mm] dann den größten
(bzw. kleinsten) Flächeninhalt hat, wenn seine Höhe
maximal (bzw. minimal) ist. Eine weitere geometrische
Überlegung führt dann zu einer leichten Analysis-Aufgabe.
LG
Al-Chwarizmi
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Tausend Dank für die Antwort.
Also die Flächeninhalte konnte ich nun dank deiner Hilfe ausrechnen.
Den größten Flächeninhalt hat das gleichschenklige Dreieck.
Also muss ich doch die Mittelsenkrechte finden?? Die Mitte von AB hab ich bereits ausgerechnet M(4/3).
Muss ich da jetzt ne lineare Funktionsgleichung (Wie geht das?) aufstellen und die dann mit der Parabel gleichsetzen um die gemeinsamen Schnittpunkte zu finden oder wie?
Und wie gehe ich dann bei dem kleinsten Dreieck vor? Gilt da dann auch nur der Zeichenbereich zwischen -3 bis 3 oder geht das bis unendlich?
lg
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Hallo crimsonlove,
> Tausend Dank für die Antwort.
> Also die Flächeninhalte konnte ich nun dank deiner Hilfe
> ausrechnen.
> Den größten Flächeninhalt hat das gleichschenklige
> Dreieck.
Das würde z.B. dann gelten, wenn ein rechtwinkliges
Dreieck mit vorgegebener Hypotenuse und maximalem
Flächeninhalt gesucht wäre.
Hier haben wir aber eine ganz andere Bedingung.
Der Punkt [mm] C_o [/mm] muss z.B. derjenige Punkt auf der ersten
Parabel sein, der den maximalen Abstand von der Geraden
AB hat. Tipp: Betrachte die Parabeltangente in diesem
(noch gesuchten) Punkt !
Effektiv hat die Aufgabe wohl noch einen Pferdefuß.
Mit den Punkten [mm] C_o [/mm] bzw. [mm] D_o [/mm] sind vermutlich Punkte
mit lokal extremen Flächeninhalten gesucht. Ob dies
dann tatsächlich auch wirkliche "globale" Extrema
sind, ist nicht in jedem der gefragten Fälle so.
> Also muss ich doch die Mittelsenkrechte finden??
Nein.
> Und wie gehe ich dann bei dem kleinsten Dreieck vor? Gilt
> da dann auch nur der Zeichenbereich zwischen -3 bis 3 oder
> geht das bis unendlich?
Wie ich es verstehe, ist der gesamte Definitionsbereich [mm] \IR. [/mm]
Das Intervall [-3....3] ist nur als Zeichenbereich gedacht.
LG
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Also gut. Ich muss den Punkt auf der Parabel finden, dessen Tangente die gleiche Steigung hat wie die Gerade die durch AB geht.
Die Geradenfunktion von AB krieg ich noch hin: f(x)=-2x+11
Ich weiß allerdings nicht wie ich die Parabel nur mithilfe der bekannten Steigung rauskriegen kann. Mir fehlt einfach das mathematische Handwerkszeug.
Um weitere konkrete Hilfe wär ich sehr dankbar.
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> Also gut. Ich muss den Punkt auf der Parabel finden, dessen
> Tangente die gleiche Steigung hat wie die Gerade die durch
> AB geht.
>
> Die Geradenfunktion von AB krieg ich noch hin: f(x)=-2x+11
> Ich weiß allerdings nicht wie ich die Parabel nur
> mithilfe der bekannten Steigung rauskriegen kann.
Die erste Parabel hat die Funktionsgleichung
[mm] p(x)=x^2 [/mm] . Die Ableitung davon ist $\ p'(x)=2*x$ .
Das bedeutet, dass die Parabel im Punkt an der
Stelle x die Steigung [mm] 2\,x [/mm] hat. Die Gerade hat
überall die konstante Steigung $\ m=f'(x)=-2$ .
Setzen wir die Steigungen von Parabel und
Gerade gleich, haben wir die Gleichung [mm] 2\,x=-2
[/mm]
mit der Lösung [mm] x_o=-1, [/mm] welche also besagt: die
Parabel hat im Punkt [mm] C_o(x_o=-1/y={x_o}^2) [/mm] eine zur
Geraden AB parallele Tangente. Daraus kann
man anhand der Zeichnung schließen, dass
das Dreieck [mm] ABC_o [/mm] eine größere Höhe und
damit einen größeren Flächeninhalt hat als
Dreiecke ABC, deren Ecken C (auf der Parabel)
nahe bei [mm] C_o [/mm] liegen. Allerdings gibt es andere
Punkte auf der Parabel, für die das entstehende
Dreieck größeren Inhalt hat als das Dreieck [mm] ABC_o [/mm] .
Der Flächeninhalt strebt gegen [mm] \infty [/mm] , falls [mm] x\to\infty [/mm]
oder [mm] x\to-\infty [/mm] strebt.
Mit Hilfe der Flächenformel
[mm] $F_{ABC}=\frac{1}{2}*\left|\vmat{\overrightarrow{AB}\ ,\ \overrightarrow{AC}}\right|$
[/mm]
lässt sich die Aufgabe natürlich auch in der ge-
wohnten Weise als Extremwertaufgabe behandeln.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank soweit. Bin schon viel schlauer als vorher 
Kannst du mir vielleicht ein Tipp geben, wo erklärt wird wie solche Extremaufgaben behandelt werden? Ist das immer nach dem selben Schema?
LG crimsonlove
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> Vielen Dank soweit. Bin schon viel schlauer als vorher
>
> Kannst du mir vielleicht ein Tipp geben, wo erklärt wird
> wie solche Extremaufgaben behandelt werden?
In jedem Anfängerkurs zur Differentialrechnung und
in den entsprechenden Schulbüchern.
Auch im Netz findet man viele entsprechende Seiten.
> Ist das immer nach dem selben Schema?
Es gibt gewisse Regeln, an die man sich halten kann.
Schau z.B. einmal bei folgenden Adressen nach:
http://www.matheboard.de/archive/5404/thread.html
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj5/index.htm
> LG crimsonlove
Gruß Al-Chwarizmi
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Gott segne Dich!
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