Flächeninhalt Parallelogram < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Do 15.09.2005 | | Autor: | Jenny05 |
Hi ihr, schreibe morgen eine Matheklausur (über Vektoren), kann auch so weit alles, bin sehr gut vorbereitet, nur heute musste unserer Lehrer ja mal wieder was neues machen :-( Meine Frage ist kurz:
Ich weiß, dass die Grundformel für die Berechnung eines Flächeninhalts A=gxh lautet, nun weiß ich allerdings nicht, wie genau ich das rechnen muss, denn in unserem Buch steht keine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms.
Habe einen Punkt A(x1/y1/z3), B, C, und D gegeben.
Muss ich jetzt beispielsweise die Länge des Vektors AB, BC, CD und AD bestimmen und dann eine dieser Längen mit der Höhe malnehmen? Aber wie komme ich auf die Länge der Höhe?Indem ich den Abstand von einem Punkt zu einer Gerade in dem Parallelogramm berechne? Bräuchte wirklich nur eine allgemeine Formel!!!
Und noch eine kurze Frage zum Flächeninhalt eines Dreiecks:
1/2 I [mm] \overline{AB} [/mm] I x I [mm] \overline{AC} [/mm] I
(Soll bedeuten einhalb mal Länge des Vektors AB mal Länge des Vektors AC )
Ist diese Formel vollständig oder fehlt etwas?
DANKE
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 15.09.2005 | | Autor: | Guman |
hi,
wollte mal fragen ob ihr schon Skalarprodukt durchgenommen habt ? Anders zu lösen könnte ichs mir nicht vorstellen^^
Deine formel für die Berechnung des Dreiecks stimmt nur für rechtwinklige Dreiecke. Bei nicht rechtwinkligen Dreiecken musst du die Höhe bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Do 15.09.2005 | | Autor: | Jenny05 |
Hi Guman, klar hatten wir Skalarprodukt. Die ganze Bandbreite....Wie lautet denn die Formel für den Flächeninhalt einen nichtrechtwinkligen Dreiecks?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Do 15.09.2005 | | Autor: | mazi |
Also die Formel über den Flächeninhalt im [mm] R^{3} [/mm] lautet richtig so:
1/2 I $ [mm] \overline{AB} [/mm] $ x $ [mm] \overline{AC} [/mm] $ I
und dieses Kreuz in der Mitte bedeutet Vektorprodukt. HAst du vielleicht zufällig die rote Formelsammlung? Da steht die Formel auf Seite 80 und da steht auch, wie man das Vektorprodukt ausrechnet.
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann einfach der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks.
Maria
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 15.09.2005 | | Autor: | Jenny05 |
Danke sehr ja das rote Formelbuch habe ich, aber auf Seite 80 steht bei mir nur etwas über Physik...Das Formelbuch von mir ist eher orange und heißt Formeln und Tabellen....hmmm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Do 15.09.2005 | | Autor: | mazi |
Na gut, dann sprechen wir wohl gerade über andere Formelsammlungen.
Also, das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b geht folgendermaßen:
sei a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), dann ist das Vektorprodukt:
a [mm] \times [/mm] b = (a2b3-a3b2 , a3b1-a1b3 , a1b2-a2b1)
und von dem Vektorprodukt rechnest du dann die Länge, also die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Vektoreinträge.
Das wäre dann der Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann die Hälfte davon.
(Die Vektoren a und b sind in deinem Fall: a ist der erste Punkt minus dem zweiten und b ist der erste Punkt minus dem dritten.)
Ich hoffe, ich hab es dir nicht zu kompliziert erklärt.
Viel Glück morgen in deiner Klausur!
Maria
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Wird das Parallelogramm von den Vektoren [mm]\vec{a} \, , \, \vec{b}[/mm] aufgespannt, so ist sein Flächeninhalt
[mm]F = \sqrt{\vec{a}^{\ 2} \, \vec{b}^{\ 2} - \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^2}[/mm]
Diese Formel ist in jeder Dimension gültig. Für die Dimensionen [mm]n=2,3[/mm] gibt es allerdings noch einfachere Formeln:
[mm]n=2: \ \ \ F = \left| \operatorname{det}\left( \vec{a} \, , \, \vec{b} \right) \right|[/mm]
[mm]n=3: \ \ \ F = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|[/mm]
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