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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 28.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Seien a, b [mm] \in IR^3. [/mm] Man zeige, dass durch || a [mm] \times [/mm] b || der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Paralleloogramms gegeben ist. |
Hallo.
Alle meinten dass ist ein großer rechenaufwand.
In der Vorlesung haben wir das Volumen von j-dim parallelipiped im n-dimensionalen Raum angebenen:
Sei [mm] A_j [/mm] = [mm] (a^1,.., a^j) \in \IR^{n \times j}
[/mm]
[mm] V_j (P_j) [/mm] = [mm] \sqrt{det(A_j^{tr} A_j)}
[/mm]
Meint man die definition?
Dass A soll ich nun als A= ( a,b) = [mm] \pmat{ a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3}auffassen [/mm] oder?
LG
LG
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Hallo sissile,
> Seien a, b [mm]\in IR^3.[/mm] Man zeige, dass durch || a [mm]\times[/mm] b ||
> der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten
> Paralleloogramms gegeben ist.
> Hallo.
> Alle meinten dass ist ein großer rechenaufwand.
Nun, ganz klein ist er nicht, aber man bekommt ihn auf eine halbe DIN A4-Seite. 
> In der Vorlesung haben wir das Volumen von j-dim
> parallelipiped im n-dimensionalen Raum angebenen:
> Sei [mm]A_j[/mm] = [mm](a^1,.., a^j) \in \IR^{n \times j}[/mm]
> [mm]V_j (P_j)[/mm] =
> [mm]\sqrt{det(A_j^{tr} A_j)}[/mm]
>
> Meint man die definition?
Eigentlich nicht. Frei nach dem Schillerschen
So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt!
könntest du das verwenden, würde ich aber nicht machen.
Die Definition des Kreuzprodukts ist klar? Nutze jetzt, dass man die Fläche eines Parallelogramms durch
[mm] A=a*b*sin(\alpha)
[/mm]
ausdrücken kann, wobei a und b zwei benachbarte Seiten und [mm] \alpha [/mm] der von ihnen eingeschlossene Winkel ist. Mit ein wenig Rumgerechne kann man zeigen, dass das gleichwertig zu
[mm] A=|\vec{a}\times\vec{b}|
[/mm]
ist, wenn man [mm] a=|\vec{a}| [/mm] und [mm] b=|\vec{b}| [/mm] voraussetzt. Du benötigst dazu auch noch die Definition des Skalarprodukts
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\phi)
[/mm]
sowie den trigonometrischen Pythagoras
[mm]sin^2x+cos^2x=1[/mm]
Das wären so die Zutaten zu dem Gurkensalat.
Gruß, Diophant
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