Flächeninhalt einer Asteroide < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 01.08.2010 | | Autor: | Megumi |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt folgender Asteroide:
x = a [mm] cos^3 [/mm] t
y = a [mm] sin^3 [/mm] t |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich soll den Flächeninhalt dieser Asteroide berechnen, finde aber kein Ansatz, da ich davon ausgehe, dass das Integral [mm] \integral_{}^{}{yx'dt}, [/mm] wegen der Form der Zissoide, 0 sein wird. Hat jemand einen anderen Ansatz für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 So 01.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Flächeninhalt folgender Asteroide:
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> x = a [mm]cos^3[/mm] t
> y = a [mm]sin^3[/mm] t
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> ich soll den Flächeninhalt dieser Asteroide berechnen,
> finde aber kein Ansatz, da ich davon ausgehe, dass das
> Integral [mm]\integral_{}^{}{yx'dt},[/mm] wegen der Form der
> Zissoide, 0 sein wird. Hat jemand einen anderen Ansatz für
> mich?
Hallo,
laut Wikipedia ( http://de.wikipedia.org/wiki/Astroide ) gibt es eine einfache Flächenformel.
Falls diese hergeleitet werden muss, würde ich versuchen, ein Viertel der Fläche (alles, was im 1. Quadranten liegt) als Integral der Funktion [mm] y=(a^\bruch{2}{3}-x^\bruch{2}{3})^{1,5} [/mm] in den Grenzen von 0 bis a zu berechnen.
Ich überblicke im Moment nicht, ob dieses Integral mit elementaren Mittel ohne Riesenaufwand lösbar ist; vielleicht ist auch ein Ansatz mit Polarkoordinaten sinnvoller.
Gruß Abakus
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Hallo Megumi,
> Berechnen Sie den Flächeninhalt folgender Asteroide:
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> x = a [mm]cos^3[/mm] t
> y = a [mm]sin^3[/mm] t
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> ich soll den Flächeninhalt dieser Asteroide berechnen,
> finde aber kein Ansatz, da ich davon ausgehe, dass das
> Integral [mm]\integral_{}^{}{yx'dt},[/mm] wegen der Form der
> Zissoide, 0 sein wird. Hat jemand einen anderen Ansatz für
> mich?
Wieso sollte das 0 werden?
Du hast oben doch schön die Parametrisierung gegeben.
Es ist [mm] $x(t)=a\cdot{}\cos^3(t)$, $y(t)=a\cdot{}\sin^3(t)$
[/mm]
Also [mm] $\dot x=x'(t)=-3a\cdot{}\cos^2(t)\cdot{}\sin(t)$
[/mm]
Damit berechne mal [mm] $\left|\int\limits_{0}^{2\pi}{y(t)\cdot{}x'(t) \ dt}\right|$
[/mm]
Das führt zu [mm] $3a^2\int\limits_{0}^{2\pi}{\sin^4(t)\cos^2(t) \ dt}$
[/mm]
DERIVE sagt, da kommt wie gewünscht [mm] $\frac{3}{8}a^2\pi$ [/mm] raus.
Das Integral wirst du wohl partiell und/oder mit Additionstheoremen kleinkriegen.
Habe ich aber nicht händisch gemacht - ist ja deine Aufgabe 
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 01.08.2010 | | Autor: | weduwe |
mit deinem ansatz komme ich für die 1/4-fläche auf [mm] A=\frac{3a^2\pi}{32} [/mm] 
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