Flächeninhalt einer Ellipse < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei eine Ellipse wie unten gezeigt ... Keine richtige Aufgabe nötig, da ich nur einen KOMMMENTAR oder ein FEEDBACK will. |
Okay - ich habe noch eine Frage :
Gegeben sei eine Ellipse - sie Schneidet die y-Achse im Punkt "2" und die x-Achse im Punkt "1".
So --> Ich habe eine Einschränkung: y>x oder y=x ! Kein Problem --> Es ist einfach nur die "obere" Hälfte gemeint.
Nun aber die Idee:
Wie berechne ich bei sowas den Flächeninhalt ? ==> Ich parametrisiere zuvor den Weg ==> r(r,fi) = (r cos(fi) ; 2r sin(fi) ==> Und nun ? Meine Idee war es nun die Jacobideterminante zu bestimmen und anschließend einfach integrieren. ==> Aber :
1. was ist DAS ?
2. Ist es das gleiche wie I [mm] f_{u} [/mm] X [mm] f_{v} [/mm] I du dv ?
==> Nun kommt aber der Supergau:
Ich habe nun ein Integral gegeben, welches folgendermaßen aussieht:
[mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{D}^{c}{(xy/x²+9y²)dx dy}}
[/mm]
(Integral von D ==> Ellipse)
Wie gehe ich nun vor ?
BITTE HELFT MIR --> Klausur ist übermorgen (KEIN SCHERZ --> AM SAMSTAG)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Do 16.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei eine Ellipse wie unten gezeigt ... Keine
Da sehe ich nichts.
> richtige Aufgabe nötig, da ich nur einen KOMMMENTAR oder
> ein FEEDBACK will.
> Okay - ich habe noch eine Frage :
>
> Gegeben sei eine Ellipse - sie Schneidet die y-Achse im
> Punkt "2" und die x-Achse im Punkt "1".
Sind die Hauptachsen der Ellipse parallel zu den Koordinatenachsen?
Dann ist es ganz elementar.
Eine Ellipse ist nichts weiter als ein "in eine Richtung gedehnter Kreis".
Der Kreis [mm] \bruch{x^2}{1^2}+\bruch{y^2}{1^2}=1 [/mm] hat bekanntlich den Flächeninhalt [mm] \pi*1^2.
[/mm]
Die Ellipse [mm] \bruch{x^2}{1^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1 [/mm] hat dann den b-fachen Inhalt [mm] b*\pi*1^2.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> So --> Ich habe eine Einschränkung: y>x oder y=x ! Kein
> Problem --> Es ist einfach nur die "obere" Hälfte gemeint.
>
> Nun aber die Idee:
>
> Wie berechne ich bei sowas den Flächeninhalt ? ==> Ich
> parametrisiere zuvor den Weg ==> r(r,fi) = (r cos(fi) ; 2r
> sin(fi) ==> Und nun ? Meine Idee war es nun die
> Jacobideterminante zu bestimmen und anschließend einfach
> integrieren. ==> Aber :
>
> 1. was ist DAS ?
> 2. Ist es das gleiche wie I [mm]f_{u}[/mm] X [mm]f_{v}[/mm] I du dv ?
>
> ==> Nun kommt aber der Supergau:
>
> Ich habe nun ein Integral gegeben, welches folgendermaßen
> aussieht:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\integral_{D}^{c}{(xy/x²+9y²)dx dy}}[/mm]
>
> (Integral von D ==> Ellipse)
>
> Wie gehe ich nun vor ?
>
> BITTE HELFT MIR --> Klausur ist übermorgen (KEIN SCHERZ -->
> AM SAMSTAG)
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Aha OK - das kenn ich irgendwoher - nur stellt sich aber dennoch die Frage - Nehmen wir an es wäre so aber wie integriere ich dann das untere Integral?
und was ist mit der jacobideterminante ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Das Integral, welches Du oben angegeben hast, ist Unsinn !
Sei E = { (x,y): [mm] x^2+y^2/4 \le [/mm] 1} (die Ellipse) und E' = { (x,y): [mm] x^2+y^2/4 \le [/mm] 1, x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0}
Dann ist der Inhalt von E ( mit Fubini !) =
= [mm] \integral_{E}^{}{1d(x,y)} [/mm] = 4 [mm] \integral_{E'}^{}{1d(x,y)} [/mm] = [mm] 4\integral_{0}^{1}{2 \wurzel{1-x^2} dx}
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
Du wirst es kaum glauben aber (wenn ich mich nicht vertippt habe), dann ist es aber so auf meinem Blatt drauf --> Schau kurz mal den Screenshot an - BITTE ! Da gibt es zwar 2 Ellipsen, aber das tut NICHTS zur sache!
Kannst Du mir BITTE ganz kurz den Satz von Fubini erläutern ?
PS: Und was ist da mit der Jacobideterminante?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Du wirst es kaum glauben aber (wenn ich mich nicht vertippt
> habe), dann ist es aber so auf meinem Blatt drauf --> Schau
> kurz mal den Screenshot an
Wo ist der ???
> - BITTE ! Da gibt es zwar 2
> Ellipsen, aber das tut NICHTS zur sache!
>
> Kannst Du mir BITTE ganz kurz den Satz von Fubini erläutern
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini
> ?
>
> PS: Und was ist da mit der Jacobideterminante?
Die brauchst Du hier doch nicht
FRED
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| Aufgabe | | http://www.abload.de/img/integral1pth.jpg |
moment - jetzt gehts - sorry  HIER DER SCREENSHOT ...
noch was : Wofür brauche ich denn überhaupt diese komische Jacobideterminante ?
Und ist das nun das gleiche, wie wenn ich I [mm] t_{u} [/mm] X [mm] t_{v} [/mm] I mache ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> http://www.abload.de/img/integral1pth.jpg
> moment - jetzt gehts - sorry HIER DER SCREENSHOT ...
>
> noch was : Wofür brauche ich denn überhaupt diese komische
> Jacobideterminante ?
Wenn Du ein Integral mit Koordinatentransformation berechnest
Mei Weg oben kommt ohne Koordinatentransformation aus
>
> Und ist das nun das gleiche, wie wenn ich I [mm]t_{u}[/mm] X [mm]t_{v}[/mm] I
> mache ?
Was soll das sein ?
FRED
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also was ich mit den zwei txt meine ist der Betrag des Vektorproduktes von den 2 Tangentenvektoren, wenn man den Vektor nach 2 parametern ableitet
Was mich aber immernoch frustriert - ich hab keinen blassen Schimmer, zu was ich die Jacobideterminante brauche :-(
HHHIIIILLLLFFFFEEEE
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> also was ich mit den zwei txt meine ist der Betrag des
> Vektorproduktes von den 2 Tangentenvektoren, wenn man den
> Vektor nach 2 parametern ableitet
>
> Was mich aber immernoch frustriert - ich hab keinen blassen
> Schimmer, zu was ich die Jacobideterminante brauche :-(
>
> HHHIIIILLLLFFFFEEEE
HALLO !
zuerst ein kleiner [mm] \text{\tiny{Tipp}} [/mm] : es gibt Leute, denen es
[mm] \text{\Large{GEWALTIG AUF DEN WECKER}} [/mm]
geht, wenn sie sich beim Lesen einer Nachricht
mit häufigen Großschreibungen ganzer Wörter
irgendwie unhöflich behandelt fühlen.
Nun zu deiner Aufgabe: Natürlich kann man den
Flächeninhalt des Gebiets D zwischen den beiden
Ellipsen leicht elementargeometrisch berechnen.
So wie ich die Aufgabe verstehe, soll es aber hier
darum gehen, das Konzept der Transformation
und die Rolle der Funktionaldeterminante an einem
recht einfachen Beispiel zu üben.
Du hast die Transformationsgleichungen
[mm] x=x(r,\varphi)=.... [/mm] und [mm] y=y(r,\varphi)=.... [/mm]
r und [mm] \varphi [/mm] spielen die Rolle von u und v in deiner
Formel mit dem Vektorprodukt der beiden
Tangentialvektoren [mm] t_u [/mm] und [mm] t_v. [/mm] Wenn wir die
Bezeichnung t (oder vielleicht [mm] \vec{t} [/mm] ) über-
nehmen, ist also:
[mm] $\vec{t}\,(r,\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{3\,r\,cos(\varphi)\\r\,sin(\varphi)}$
[/mm]
Dann ist
[mm] $\vec{t}_r\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\partial}{\partial\,r}\,\vec{t}\,(r,\varphi)$ [/mm] und [mm] $\vec{t}_{\varphi}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\partial}{\partial\,\varphi}\,\vec{t}\,(r,\varphi)$
[/mm]
Berechne diese Vektoren durch partielles Ableiten.
Dann kannst du ihr Kreuzprodukt und dann dessen
Betrag [mm] |\,\vec{t}_r\,\times\,\vec{t}_{\varphi}\,| [/mm] berechnen, und du kannst dich dabei
davon überzeugen, dass dies rechnerisch genau
dasselbe bedeutet wie die Berechnung des Betrags
der Determinante der [mm] 2\times{2}- [/mm] Matrix, welche die Koor-
dinatentransformation beschreibt.
Was dies Ganze z.B. mit den Flächeninhalten der
beiden Gebiete D und [mm] \tilde{D} [/mm] zu tun hat, kannst du dir
klar machen, wenn du dich daran erinnerst, dass
in der geometrischen Definition des Vektorprodukts
auch ein Flächeninhalt vorkommt: der Betrag des
Vektors [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] ist proportional zum Flächeninhalt
des Parallelogramms, welches [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufspannen !
Der Betrag der Jacobi-Determinante ergibt deshalb
den Umrechnungsfaktor für die Flächenelemente dS
bzw. [mm] d\tilde{S} [/mm] bei der Koordinatentransformation.
Im vorliegenden Fall wird ja dieses Ellipsen-Ring-Gebiet D
(in der x-y-Ebene) auf ein rechteckiges Gebiet [mm] \tilde{D} [/mm] in der
[mm] r-\varphi-Ebene [/mm] abgebildet und dabei erheblich, und
von Ort zu Ort in verschiedenem Maße verzerrt.
Die Jacobi-Determinante ergibt den (von Ort zu Ort
unterschiedlichen) Verzerrungsfaktor an.
LG Al-Chwarizmi
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Erstmal : Danke ! Keine Sorge - ich will niemanden unhöflich behandeln (wie denn auch ? Wozu und wieso? Ich wars halt gewohnt, das Wichtige hervorzuheben ... egal werds unterlassen !
Ach soo - OK - dann ist es also so, dass die Idee mit dem Betrag des Vektorproduktes die richtige sei. Also parametrisiere ich die Ellipsen in Abhängigkeit vom Winkel & Radius und anschließend berechne ich einfach diesen Vektorprodukt.
Nun habe ich bereits ein Doppelintegral erhalten (fast) --> [mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{xy/(x²+y²)dA}} [/mm] (wobei ich hier bereits alles ordentl. eingefügt habe)
Meine Frage nun : Wie bestimme ich nun die Integrationsgrenzen ? Ich habe aufm Zettel alles in Polarkoordinaten beschrieben... aber da kann ich doch nicht einfach einen konstanten Radius für "r" als Integrationsschranke setzen ? Oder doch?
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Hallo KGB-Spion,
> Erstmal : Danke ! Keine Sorge - ich will niemanden
> unhöflich behandeln (wie denn auch ? Wozu und wieso? Ich
> wars halt gewohnt, das Wichtige hervorzuheben ... egal
> werds unterlassen !
>
> Ach soo - OK - dann ist es also so, dass die Idee mit dem
> Betrag des Vektorproduktes die richtige sei. Also
> parametrisiere ich die Ellipsen in Abhängigkeit vom Winkel
> & Radius und anschließend berechne ich einfach diesen
> Vektorprodukt.
>
> Nun habe ich bereits ein Doppelintegral erhalten (fast) -->
> [mm]\integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{xy/(x²+y²)dA}}[/mm] (wobei
> ich hier bereits alles ordentl. eingefügt habe)
>
> Meine Frage nun : Wie bestimme ich nun die
> Integrationsgrenzen ? Ich habe aufm Zettel alles in
> Polarkoordinaten beschrieben... aber da kann ich doch nicht
> einfach einen konstanten Radius für "r" als
> Integrationsschranke setzen ? Oder doch?
Die Grenzen für r sind bekannt.
Es geht nur noch um die Bestimmung der Grenzen für [mm]\varphi[/mm].
Nun, da Du die Einschränkung [mm]y \ge x[/mm] hast, mußt Du die Gleichung
[mm]y\left(r,\varphi\right)-x\left(r,\varphi) \ge 0[/mm]
, welche hier äquivalent mit
[mm]2*r*\sin\left(\varphi\right)-r*\cos\left(\varphi\right) \ge 0[/mm]
ist, lösen.
Gruß
MathePower
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Hey - cool! So wirkt es doch wesentlich Verständlich !
OK - das mitm Winkel hab ich jetzt so vorgestellt : Von 1/4 pi bis 3/2 Pi
Aber wie kommt man auf r ?
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Hallo KGB-Spion,
> Hey - cool! So wirkt es doch wesentlich Verständlich !
>
> OK - das mitm Winkel hab ich jetzt so vorgestellt : Von 1/4
> pi bis 3/2 Pi
Das musst nochmal nachrechnen.
>
> Aber wie kommt man auf r ?
"r" ist doch durch die Parametersierung vorgegeben.
Gruß
MathePower
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Okay - also ich komme auf folgende Grenze : R --> von 1 bis 3 --> Kann das sein ? Aber dann ists doch ein Kreis !
Ich mein jetzt unser Missverständnis in Worte fassen zu können :
Bitte weitersagen - ist wichtig für Anfänger und Amateure:
Papula und Co. rechnen alles (auch das Flächenelement dA) in Polarkoordinaten um und setzen dafür die "Schranken ein". Nun gut --> Beim kreis und beim Zylinder ists schon richtig.
Und auch die Kugel (ok - halbkugel) kann man so ausrechnen - klappt bei mir wunderbar!
Aber: Bei asymetrischen gebilde wie z.B. einer Ellipse kann man das so eben nicht machen !
Hier muss man folgendes machen: man "parametrisiert" einen Ortsvektor, welcher dann anschließend 2 mal abgeleitet wird - ja ich weiß - ich will den Betrag des Vektorproduktes bilden und anschließend dann von dem aus integrieren ... dann sollte es doch schon so sein, dass ich nun für "r" das sogenannte "a" vorm y (Ellipse: b²x²+a²y²=a²b²) als integrationsschranke nehmen kann - gell ?
ist es so nun mathematisch korrekt ? Ich brauche Hilfe von Experten wie euch ! Bitte - am Samstag ist Klausur
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Hallo KGB-Spion,
> Okay - also ich komme auf folgende Grenze : R --> von 1 bis
> 3 --> Kann das sein ? Aber dann ists doch ein Kreis !
Zu den Grenzen von r:
Wir haben den Schnittpunkt mit der y-Achse, dort ist x=0, y=2, bzw.
so wie den Schnittpunkt mit der x-Achse, dort ist y=0, x=1.
und die Parameterisierung
[mm]x=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=2r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Daraus ergibt sich r=1 als Obergrenze.
Desweiteren ist r=0 Untergrenze.
Somit läuft r von 0 bis 1.
>
> Ich mein jetzt unser Missverständnis in Worte fassen zu
> können :
>
> Bitte weitersagen - ist wichtig für Anfänger und Amateure:
>
> Papula und Co. rechnen alles (auch das Flächenelement dA)
> in Polarkoordinaten um und setzen dafür die "Schranken
> ein". Nun gut --> Beim kreis und beim Zylinder ists schon
> richtig.
> Und auch die Kugel (ok - halbkugel) kann man so ausrechnen
> - klappt bei mir wunderbar!
>
> Aber: Bei asymetrischen gebilde wie z.B. einer Ellipse kann
> man das so eben nicht machen !
>
> Hier muss man folgendes machen: man "parametrisiert" einen
> Ortsvektor, welcher dann anschließend 2 mal abgeleitet wird
> - ja ich weiß - ich will den Betrag des Vektorproduktes
> bilden und anschließend dann von dem aus integrieren ...
> dann sollte es doch schon so sein, dass ich nun für "r" das
> sogenannte "a" vorm y (Ellipse: b²x²+a²y²=a²b²) als
> integrationsschranke nehmen kann - gell ?
>
> ist es so nun mathematisch korrekt ? Ich brauche Hilfe von
> Experten wie euch ! Bitte - am Samstag ist Klausur
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
ich fürchte, dass da irgendwie ein Durcheinander
zwischen zwei verschiedenen Aufgaben herrschte.
Die Aufgabe, mit der ich mich befasst habe, ist
diese: ![[]](/images/popup.gif) Link
Gruß Al
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> Erstmal : Danke ! Keine Sorge - ich will niemanden
> unhöflich behandeln (wie denn auch ? Wozu und wieso? Ich
> wars halt gewohnt, das Wichtige hervorzuheben ... egal
> werds unterlassen !
Ich musste das auch einmal lernen - konnte es dann
ein Stück weit nachvollziehen und tat es seither auch
kaum mehr. Sind so gewisse Regeln, die das Leben
etwas erleichtern.
> Ach soo - OK - dann ist es also so, dass die Idee mit dem
> Betrag des Vektorproduktes die richtige sei. Also
> parametrisiere ich die Ellipsen in Abhängigkeit vom Winkel
> & Radius und anschließend berechne ich einfach dieses
> Vektorprodukt.
Im Beispiel war ja die Parametrisierung sogar vorgegeben.
Da ich die Nebenbedingung [mm] y\ge [/mm] x zuerst nicht beachtet habe,
dachte ich, dass D der gesamte Ring sei. Durch die Bedingung
[mm] y\ge [/mm] x wird er tatsächlich halbiert, aber bei anderen [mm] \varphi [/mm] -Werten
als z.B. [mm] \pi/4 [/mm] !
r läuft von 1 (innere Ellipse) bis 3 (äussere Ellipse), wenn ich
das richtig gesehen habe.
Du hast ja dann zwei Integrale zu berechnen, das erste
ist
[mm] $\integral_{D}\blue{1}\ dx\,dy\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\tilde{D}}\blue{1}*|Det(J)|\,dr\,d\varphi$
[/mm]
Leider sieht man das Tilde-(Schlange-) Zeichen über
dem D beim zweiten Integral fast nicht ...
Dies sollte den Flächeninhalt des halben Ellipsenrings er-
geben, was du elementargeometrisch kontrollieren
kannst. Im zweiten zu berechnenden Integral tritt
an die Stelle der [mm] \blue{1} [/mm] im ersten Integral der vorgegebene
Integrand f(x,y) - wie er auch immer schon wieder hieß.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Do 16.04.2009 | | Autor: | KGB-Spion |
Also ich habs nun auch endlich kapiert. Dankeschön ! Hat bei mir etwas länger gedauert, aber da das Resultat entscheidend ist, ist es ja nicht soo schlimm.
Danke an alle für Eure Unterstützung und verzeiht mir bitte, wenn ich noch die ein oder andere knifflige Frage stelle.
LG,
Denis
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> Danke an alle für Eure Unterstützung und verzeiht mir
> bitte, wenn ich noch die ein oder andere knifflige Frage
> stelle.
Hallo Denis,
die etwas kniffligen Fragen sind besonders willkommen !
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chw.
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![[]](http://img2.abload.de/img/integral1pth.jpg){kind=small}
Link