Flächeninhalt eines Dreiecks < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 15.05.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Die Ecken eines Dreiecks ABC sind durch die dimensionierten Orstvektoren [mm] \vec{ra}=\vektor{6 \\ 9 \\ 7}cm, \vec{rb}=\vektor{-5 \\ 2 \\ 9}cm [/mm] und [mm] \vec{rc}=\vektor{-2 \\ -4 \\ 3}cm. [/mm] Man berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks. |
Hallo Leute,
eine solche Aufgabe kann man ja bekanntlich mit dem Vektorprodukt lösen: [mm] A=\bruch{1}{2}\vmat{\overrightarrow{AB} x \overrightarrow{AC}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\vmat{\vektor{-11 \\ -7 \\ 2} x \vektor{-8 \\ -13 \\ -4}}cm²=59,34 [/mm] cm².
Nun fällt mir ein weiterer möglicher Lösungsweg ein: Man bestimmt den Vektor [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-11 \\ -7 \\ 2} [/mm] und bildet eine Gerade durch die Punkte A und [mm] B\Rightarrow g:\vec{g}=\vektor{6 \\ 9 \\ 7}+\lambda*\vektor{-11 \\ -7 \\ 2}. [/mm] Nun bestimmt man den kürzesten Abstand zwischen dieser Geraden und dem Punkt C, z.B mithilfe einer Hilfsebene, welche senkrecht zur Geraden steht und den Punkt C beinhaltet.
[mm] E:[\vec{x}-\vektor{-2 \\ -4 \\ 3}]*\vektor{-11 \\ -7 \\ 2}=0
[/mm]
E:-11x-7y+2z=56
[mm] -11*(6-11\lambda)-7*(9-7\lambda)+2*(7+2\lambda)=56
[/mm]
[mm] \lambda=0,983
[/mm]
g: [mm] \vec{g}=\vektor{6 \\ 9 \\ 7}+0,983*\vektor{-11 \\ -7 \\ 2}
[/mm]
Schnittpunkt der Geraden mit der [mm] Ebene:\overrightarrow{OS}=\vektor{-4,81 \\ 2,12 \\ 8,97}. [/mm] Nun berechne ich den kürzesten Abstand [mm] \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OS}=\vektor{-2 \\ -4 \\ 3}-\vektor{-4,81 \\ 2,12 \\ 8,97}=\vektor{2,81 \\ -6,12 \\ -5,97}.
[/mm]
Nun habe ich die Länge und die Höhe des Dreiecks in vektorieller Form. Ich rechne [mm] \bruch{1}{2}*\vmat{ \vektor{-11 \\ -7 \\ 2}*\vektor{2,81 \\ -6,12 \\ -5,97} }=\bruch{1}{2}*\vmat{ \vektor{30,91 \\ 42,84 \\ -11,94} }=27,079 [/mm] [cm²]. Weshalb bekomme ich hier ein falsches Ergebnis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Do 15.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du Höhe und Länge der Seite hast, kannst du nicht das Skalarprodukt bilden! die letzte Gleichung ist unsinnig, 1. das Ergebnis deiner Skalarmult. ist ein Vektor! 2. da die 2 Vektoren senkrecht stehen ist das Skalarprod. 0
3. rechne 1/2*|h|*|a| dann kommst du auf dasselbe Ergebnis wie mit dem Kreuzprodukt.
also ist deine Rechnung im Prinzip richtig, nur das Ende halt nicht
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Do 15.05.2008 | | Autor: | Owen |
oh ja, alles klar, vielen Dank
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