Flächeninhalt eines Rechteckes < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 So 11.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | Es geht um ein achsenparalleles Rechteck, dessen Eckpunkt P(a/f(a)) für 0<a<1^auf dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=2x*e^{-x} [/mm] liegt.
Wie muss man a wählen, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird? |
Ich dachte eigentlich, ich könnte es lösen, komme aber am Ende auf z=1,5 , was ja nicht sein darf. Hier also mal mein Versuch:
A=x*y=f(a)*(1-a)
[mm] 2a*e^{-a}*(1-a)
[/mm]
[mm] =-4a^{3}*e^{-2a}
[/mm]
Ableitung bilden:
[mm] A'=-12a^{2}*e^{-2a}+8a^{3}*e^{-2a}
[/mm]
Ableitung gleich 0 setzen:
[mm] a^{2}*e^{-2a}(-12+8a)=0
[/mm]
12=8a
a=1,5
Ich finde meinen Fehler einfach nicht..
Oder ist der Ansatz schon falsch?
Bin sehr dankbar über jede Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 So 11.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Vicky,
> Es geht um ein achsenparalleles Rechteck, dessen Eckpunkt
> P(a/f(a)) für 0<a<1^auf dem Graphen der Funktion
> [mm]f(x)=2x*e^{-x}[/mm] liegt.
> Wie muss man a wählen, damit der Flächeninhalt des
> Rechtecks maximal wird?
> Ich dachte eigentlich, ich könnte es lösen, komme aber
> am Ende auf z=1,5 , was ja nicht sein darf. Hier also mal
> mein Versuch:
>
> A=x*y=f(a)*(1-a)
wenn ich das richtig sehe, hat Dein Rechteck die Eckpunkte
[mm] $$(a,0);\;(1,0);\;(1,f(a));\;(a,f(a))\,.$$
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
> [mm]2a*e^{-a}*(1-a)[/mm]
> [mm]=\red{-4a^{3}*e^{-2a}}[/mm]
Was hast Du denn da oben gerechnet?
[mm] $$A(a)=2a*e^{-a}*(1-a)=2a*e^{-a}-2a^2*e^{-a}\,.$$
[/mm]
Das folgende wird somit natürlich auch falsch:
> Ableitung bilden:
> [mm]A'\blue{(a)}\red{=-12a^{2}*e^{-2a}+8a^{3}*e^{-2a}}[/mm]
> ...
Edit:
Dennoch:
Generell könnte es auch durchaus sein, dass die Flächenfunktion [mm] $A(a)\,$ [/mm] keine lokale Maximalstelle in $[0,1]$ hat. Aber mit der Ableitung $A'(a)$ gelänge es Dir vielleicht dann dennoch, eine Aussage über das Monotonieverhalten von [mm] $A(a)\,$ [/mm] in $[0,1]$ zu treffen, und dann wüßtest Du auch, für welches $a [mm] \in [/mm] [0,1]$ der Flächeninhalt [mm] $A(a)\,$ [/mm] maximal wird.
P.S.:
Ich rechne das ganze erst mal gleich für mich nach, ich habe Deine Rechnung oben noch nicht kontrolliert!
P.P.S.:
Um für [mm] $A(a)\,=2a*e^{-a}*(1-a)$ [/mm] die Ableitung zu berechnen, solltest Du sowohl die Ketten- als auch die Produktregel zum Einsatz bringen. Sofern Du Dich (und auch ich mich) dann nicht verrechnet hast (habe), hast Du dann die Gleichung
[mm] $$2a^2-6a+2=0$$
[/mm]
zu lösen. Das liefert Dir dann auch eine "vernünftige" Lösung für [mm] $a\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:47 So 11.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 So 11.10.2009 | | Autor: | Marcel |
> ..
Hat sich die Rückfrage erledigt?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 So 11.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
oh nein, ich habe meine fehler gefunden..
ich habe grechnet
[mm] 2a*e^{-a}*(1-a)=2ae^{-a}*(-2a^{2}e^{-a})=-4*a^{3}*2ae^{-2a}
[/mm]
ich habe als ich die klammer ausmultipliziert habe wieder ein "*" gesetzt...
und habe es die ganze zeit nicht gesehen..
tut mir leid...
aber trotzdem danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 So 11.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> oh nein, ich habe meine fehler gefunden..
> ich habe grechnet
> [mm]2a*e^{-a}*(1-a)=2ae^{-a}*(-2*a²2ae^{-a})=-4*a³*2ae^{-2a}[/mm]
> ich habe als ich die klammer ausmultipliziert habe wieder
> ein "*" gesetzt...
> und habe es die ganze zeit nicht gesehen..
> tut mir leid...
> aber trotzdem danke!
kein Thema. Ich denke, durch die Tatsache, dass Du nachvollzogen hast, was ich gerechnet habe, ist Dir ja dieser Fehler erst wirklich bewußt geworden (ich glaube allerdings, dass Du in dieser Mitteilung hier dann oben auch einen Faktor [mm] $2\,$ [/mm] einmal zuviel stehen hast.. aber ist ja wurscht, es ist eh eine fehlerbehaftete Rechnung  ). Wir können unser Endergebnis am Ende aber auch gerne nochmal abgleichen.
P.S.:
Du hast manchmal [mm] $a\,$ [/mm] und manchmal [mm] $z\,$ [/mm] geschrieben. Aber das meint wohl immer die gleiche Stelle, also ich sage mal: Es gilt wohl [mm] $a\,=\,z\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
oh ja, z soll eigentlich a sein. bin beim tippen ab und zu etwas durcheinander gewesen, weil ich eben eine aufgabe mit "z" gerechnet habe ;)
ich rechne grade nochmal nach und schreib mein ergebnis ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
also mir i8st nhicht so ganz klar, wie du auf deine ableitung kommst? wieso 12? ich habe statt 12 -> 4
kann es sein, dass du meine alte funktion ausversehen kurz abgeleitet hast, dann würde sich die 12 erklären...
ich käme dann am ende nämlich auf [mm] 1-2a^{2}=0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also mir i8st nhicht so ganz klar, wie du auf deine
> ableitung kommst? wieso 12? ich habe statt 12 -> 4
> kann es sein, dass du meine alte funktion ausversehen kurz
> abgeleitet hast, dann würde sich die 12 erklären...
>
> ich käme dann am ende nämlich auf [mm]1-2a^{2}=0[/mm]
es war doch
[mm] $$A(a)=2a\cdot{}e^{-a}\cdot{}(1-a)\,.$$
[/mm]
Aus technischen Gründen schreibe ich das um zu
[mm] $$A(a)=e^{-a}\cdot{}(2a-2a^2)\,.$$
[/mm]
Setze [mm] $u(a):=e^{-a}\,.$ [/mm] Nun setze $h(a):=-a$ und [mm] $g(h):=e^{h}\,,$ [/mm] denn dann ist $u(a)=(g [mm] \circ h)(a)=g(h(a))\,.$ [/mm] Mit der Kettenregel ist also [mm] $u'(a)=g'(h(a))*h'(a)=e^{h(a)}*(-1)=-e^{-a}\,.$
[/mm]
Setze [mm] $v(a):=2a-2a^2\,,$ [/mm] dann ist [mm] $v'(a)=2-4a\,.$ [/mm] Weil nun [mm] $A(a)=u(a)*v(a)\,$ [/mm] ist, folgt mit der Produktregel
[mm] $$A'(a)=u'(a)*v(a)+u(a)*v'(a)=-e^{-a}*(2a-2a^2)+e^{-a}*(2-4a)=e^{-a}*(2a^2-2a-4a+2)=e^{-a}*(2a^2-6a+2)\,.$$
[/mm]
Also $A'(a)=0 [mm] \gdw...$
[/mm]
Wenn Du das (kurz) weiterüberlegst, kommst Du zu meiner Gleichung
[mm] $$2a^2-6a+2=0\,.$$
[/mm]
Strenggenommen wäre dann auch noch eine Begründung angebracht, warum an der Stelle [mm] $a_1:=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ [/mm] dann die Funktion [mm] $A(a)\,$ [/mm] auch wirklich ein lokales Maximum vorliegen hat (es könnte - rein theoretisch - mit unserem bisherigen Wissen dort ja auch eine lokale Minimalstelle oder ein Sattelpunkt vorliegen). Z.B. kann man da auch versuchen, mit der zweiten Ableitung von [mm] $A(a)\,$ [/mm] argumentieren...
P.S.:
Die rotmarkierte Formel in diesem Beitrag (nach "... Ableitung bilden:...") habe ich doch nicht berechnet, sondern Du hattest sie berechnet. Ich habe sie nur rot markiert, weil sie falsch war.. die [mm] $12\,$ [/mm] dort stammt doch von Dir
Ich hatte - bis jetzt in diesem Beitrag hier - gar nicht [mm] $A'(a)\,$ [/mm] konkret angegeben. Aber jetzt steht's da (s.o.):
[mm] $$A'(a)=e^{-a}*(2a^2-6a+2)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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