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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | | Durch den Punkt A ist eine Gerade g derart zu legen, dass sie mit den positiven Koordinatenachsen ein Dreieck der Fläche F = 36 bildet. Bestimmen Sie die Gleichung der Gerade g |
Guten Tag
y = mx + 9 -2m
Mal ein komplizierter Weg:
Nullpunkt 0 = mx + 9 - 2m
x = [mm] \bruch{-9 + 2m}{m}
[/mm]
Stammfunktion lautet = [mm] \bruch{1}{2} mx^{2} [/mm] + 9x -2mx
36 = 0.5m ( [mm] \bruch{1}{2} mx^{2} [/mm] + 9x [mm] -2mx)^{2} [/mm] + 9( [mm] \bruch{1}{2} mx^{2} [/mm] + 9x -2mx) -2m*( [mm] \bruch{1}{2} mx^{2} [/mm] + 9x -2mx)
Wieso geht das nicht so?
Danke
gruss Dinker
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Sei [mm] A=(a_1/a_2) [/mm] der gegebene Punkt und die Gerade g gegeben durch y=mx+b, dann erhältst du:
[mm]a_2 = m*a_1 + b[/mm]
Aufgelöst nach m oder wahlweise auch nach b erhälst du die erste Bedingung:
[mm]m=\bruch{a_2-b}{a_1}[/mm]
bzw.
[mm]b = a_2 - m*a_1[/mm]
Die Fläche kannst du tatsächlich als Integral berechnen. Die Integrationsgrenzen sind 0 und die Nullstelle der Geraden, d.h. [mm]x=-\bruch{b}{m}[/mm].
Also muss noch gelten:
[mm]36 = \integral_{0}^{-\bruch{b}{m}}{(mx+a_2 - m*a_1) dx}[/mm]
[mm]\gdw 36= \left[ \bruch{m}{2}x^2+a_2*x-m*a_1*x\right]_0^{-\bruch{b}{m}}[/mm]
[mm]\gdw 36 = \bruch{m}{2}*(-\bruch{b}{m})^2+a_2*(-\bruch{b}{m})-m*a_1*(-\bruch{b}{m})[/mm]
[mm]\gdw 36 = \bruch{m}{2}*(-\bruch{a_2 - m*a_1}{m})^2+a_2*(-\bruch{a_2 - m*a_1}{m})-m*a_1*(-\bruch{a_2 - m*a_1}{m})[/mm]
Damit hast du jetzt eine Gleichung, in der nur noch m unbekannt ist, was du nun leicht ausrechnen kannst. Und wenn du das hast, setzt du es noch in [mm]b=a_2 - m*a_1[/mm] ein, um die vollständige Geradengleichung zu erhalten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Es geht hier auch ohne Integration, indem Du die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck verwendest.
(Im übrigen wäre es vorteilhaft, wenn Du uns auch die gegebenen Koordinaten des Punktes $A_$ mitteilen würdest ... aber das nur nebenbei).
[mm] $$A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a*b$$
[/mm]
In diesem Falle wären $a_$ und $b_$ die beiden Achsenabschnitte der Gerade.
Gruß
Loddar
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