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| Aufgabe | Gegeben ist f(x)=-1/4 [mm] x^{4} +2x^{2}
[/mm]
Bestimme im ersten Quadranten den Punkt P(x/y) so, dass ein gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze im Koordinatenursprung und den Basispunkten P(x/y) und Q(-x/y) einen maximalen Flächeninhalt hat. |
Hallo,
Also ich habe vorher schon alle Kurvendisskusionswerte berechnet, falls das wichtig ist.
A [mm] \, [/mm] = [mm] \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4} [/mm] ist die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks, also auch die Zielfunktion. (Hauptbedingung)
U=3*a ist die Nebenbedingung.
Ich habe es aber bisher immer mit Rechtecken gemacht und dann war die Nebenbedingung U=2*x+2*y und das dann nach y umgestellt. Wie geht das hier dann?
Danke für Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
dein Dreieck OPQ hat die Grundseite [mm] g=\overline{PQ} [/mm] und die Höhe h=f(x), allgemein gilt für das Dreieck: [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Gegeben ist f(x)=-1/4 [mm]x^{4} +2x^{2}[/mm]
>
> Bestimme im ersten Quadranten den Punkt P(x/y) so, dass ein
> gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze im
> Koordinatenursprung und den Basispunkten P(x/y) und Q(-x/y)
> einen maximalen Flächeninhalt hat.
> A [mm]\,[/mm] = [mm]\, \frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> ist die Formel für den
> Flächeninhalt des Dreiecks, also auch die Zielfunktion.
> (Hauptbedingung)
Du verwechselst "gleichschenkliges Dreieck" und
"gleichseitiges Dreieck" !
Und die Nebenbedingung hat nichts mit dem Umfang
des Dreiecks zu tun, sondern damit, dass (wie auf der
Zeichnung von Steffi) der Punkt P(x,y) - und damit
wegen der Symmetrie der Kurve auch der Punkt Q -
auf dem Graph der vorgegebenen Funktion f liegen
soll. Allerdings wird diese Bedingung in der Aufgaben-
stellung, so wie du sie übermittelt hast, gar nicht
wirklich genannt ! Eigentlich könnte man die Lösung
der Aufgabe (so wie sie dasteht) also ganz ohne
Rechnung so formulieren: "Einen solchen Punkt gibt
es nicht, denn der Flächeninhalt des Dreiecks kann
beliebig groß werden, wenn von dem Punkt P nur
verlangt wird, dass er im ersten Quadranten liegen
soll".
LG
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Oh danke, hab ich gar nicht gewusst, dass da ein Unterschied ist. :)
Also ist jetzt die Zielfunktion A=1/2*g*h.
Wie stellt man die Nebenbedingung auf? Ich habe das nie so richtig verstanden, es ist ja der Umfang, aber man kann nicht einfach die Umfangsformel nehmen oder?
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> Oh danke, hab ich gar nicht gewusst, dass da ein
> Unterschied ist. :)
>
>
> Also ist jetzt die Zielfunktion A=1/2*g*h. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie stellt man die Nebenbedingung auf? Ich habe das nie so
> richtig verstanden, es ist ja der Umfang, aber man kann
> nicht einfach die Umfangsformel nehmen oder?
Nein. Wie gesagt: die Nebenbedingung hat in dieser
Aufgabe überhaupt nichts mit dem Dreiecksumfang
zu tun !
Die Aufgabe war sicher so gemeint, dass für die
Koordinaten des Punktes P die Gleichung y=f(x)
gelten soll.
LG Al-Chw.
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Bin jetzt ein bisschen verwirrt. :(
Also ich denke schon, dass es dort eine Lösung gibt, weil wir auch eine Skizze dazu machen sollen :)
Aber kannst du mir bitte helfen und sagen, wie ich die Nebenbedingung aufstellen soll? Bin echt blöd. Danke.
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Hallo Kaktus123,
>
> Bin jetzt ein bisschen verwirrt. :(
> Also ich denke schon, dass es dort eine Lösung gibt, weil
> wir auch eine Skizze dazu machen sollen :)
>
> Aber kannst du mir bitte helfen und sagen, wie ich die
> Nebenbedingung aufstellen soll? Bin echt blöd. Danke.
Die Nebenbedingung ist, daß die Basispunkte
auf der gegebenen Funktion liegen müssen.
Gruss
MathePower
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Ich weiß nicht, wieso ich so auf dem Schlauch stehe, aber ich weiß nicht, wie ich das aufstellen soll.
Ich habe ja zwei Variablen, also brauche ich eine Nebenbedingung, die das Verhältnis der beiden Variablen zeigt.
Aber ich verstehe einfach nicht, was ich da genau machen soll.
Könnte jetzt das Dreieck teilen und dann mit Satz des Pythagoras weiter gehen.. also
[mm] h^2+(1/2*g)^2=?? [/mm] Aber gleich was? Ich habe ja nur die zwei Variablen und keinen dritten Wert etc?
Oh man, wie doof das ist
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Hallo, der Punkt P liegt an der Stelle x, der Punkt Q liegt an der Stelle -x, somit hat die Grundseite die Länge 2x, die Höhe vom Dreieck ist [mm] f(x)=-\bruch{1}{4}*x^{4}+2*x^{2} [/mm] jetzt alles einsetzen
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}*g*f(x)=\bruch{1}{2}*2x*(-\bruch{1}{4}*x^{4}+2*x^{2})
[/mm]
die Fläche ist nur von x abhängig
Steffi
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> Aber kannst du mir bitte helfen und sagen, wie ich die
> Nebenbedingung aufstellen soll?
Da gibt's eigentlich gar nichts mehr aufzustellen.
Die Bedingung, dass der Punkt P(x,y) auf der
Kurve liegen soll, bedeutet einfach: y=f(x) , das
heißt:
$\ y\ =\ [mm] -\frac{1}{4}*x^4+2*x^2 [/mm] $
LG
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Wo steht denn das der Punkt auf dem Graphen liegt?
Kannst du mir bitte erklären, wozu diese Nebenbedinungen dienen soll?
Ich hab mich da total verannt. :'(
Also um das jetzt zusammen zu fassen, ohen es zu verstehen, ich Dummi:
Hauptbedingung: f(x)=1/2*g*h
Nebenbedingung: [mm] y=-1/4x^4+2*x^2
[/mm]
Und letzteres stelle ich jetzt nach was um?
Sonst wurde es immer nach y umgestellt, aber das bringt ja hier nichts. Habe oben ja nur g und h, die ich unten nicht habe?
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Danke Steffi,
Aber jetzt hast du ja eine ganz andere Zielfunktion oder Hauptbedingung.
[mm] A=1/2*2x*(-1/4*x^4+2*x^2)
[/mm]
Und dann die Nebenbedingung? :o
Könnte ich es auch so machen....
A=x*y/2
Nebenbedingung (U?) = [mm] -1/4x^4+2x^2
[/mm]
Das einsetzen:
[mm] x*(-1/4x^4+2x^2)/2
[/mm]
Und dann nach x auflösen?
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Hallo, ich spreche immer von der gleichen Zielfunktion
[mm] A=\bruch{1}{2}*g*h [/mm] gilt für ein Dreieck
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}*2x*f(x)
[/mm]
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}*2x*(-\bruch{1}{4}*x^{4}+2*x^{2})
[/mm]
[mm] A(x)=x*(-\bruch{1}{4}*x^{4}+2*x^{2})
[/mm]
[mm] A(x)=-\bruch{1}{4}*x^{5}+2*x^{3}
[/mm]
so nun aber ran an die Extremwertbetrachtung, nix nach x umstellen
Steffi
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Ich bin jetzt richtig verzweifelt.... Ich verstehe gar nicht mehr, was die Neben und Hauptbedingung ist und so. Das ist alles so ungeordnet.
Ich wollte jetzt mit:
A=x*y/2
U= [mm] -1/4x^4+2x^2
[/mm]
rechnen.
Also das einsetzen.
Aber kann mir mal bitte jemand einfach den Lösungweg geben, den Ansatz also. Mit den beiden Gleichungen, wie man die verbindet.
Ich blicke nicht mehr durch, und ich find das furchtbar schwierig, nachzuvollziehen.
Danke
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> Ich bin jetzt richtig verzweifelt.... Ich verstehe gar
> nicht mehr, was die Neben und Hauptbedingung ist und so.
> Das ist alles so ungeordnet.
>
> Ich wollte jetzt mit:
>
> A=x*y/2
> U= [mm]-1/4x^4+2x^2[/mm]
Was soll jetzt hier wieder dieses U ?
vergiss mal diesen Umfang und setze [mm] y=-\frac{1}{4}x^4+2x^2
[/mm]
(aber das hat Steffi ja schon alles vorgerechnet ...)
> rechnen.
>
> Also das einsetzen.
>
>
> Aber kann mir mal bitte jemand einfach den Lösungweg
> geben, den Ansatz also. Mit den beiden Gleichungen, wie man
> die verbindet.
> Ich blicke nicht mehr durch, und ich find das furchtbar
> schwierig, nachzuvollziehen.
>
> Danke
Entschuldige bitte, aber es scheint wirklich hart, dich
irgendwie zu überzeugen. Möglicherweise hat man euch
zu sehr auf Extremwertaufgaben getrimmt, bei denen
es immer um Flächeninhalte (als Zielgröße) und fest
vorgegebene Umfänge (als Nebenbedingung) ging.
Noch ein letztes Mal: Bei dieser Aufgabe geht es um
gar keinen Umfang.
Außerdem liegt (nach der letzten Antwort von Steffi)
die Zielfunktionschon fix und fertig vor:
$ [mm] A(x)=-\bruch{1}{4}\cdot{}x^{5}+2\cdot{}x^{3} [/mm] $
Die Berücksichtigung der Nebenbedingung ist darin
schon eingebaut. Es geht nur noch darum, die Funktion
A(x) für diejenigen x-Werte, die (siehe auch Steffis Zeichnung !)
in Frage kommen, zu untersuchen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kaktus!
> Wo steht denn das der Punkt auf dem Graphen liegt?
Anders macht die Aufgabe überhaupt keinen Sinn (hast Du die Aufgabenstellung wortwörtlich widergegeben?).
Und im Allgemeinen gilt auch $y \ = \ f(x)$ .
> Hauptbedingung: f(x)=1/2*g*h
Schreibe hier nicht wieder [mm] $\red{f}(x)$ [/mm] sondern besser $A_$ .
> Nebenbedingung: [mm]y=-1/4x^4+2*x^2[/mm]
>
> Und letzteres stelle ich jetzt nach was um?
> Sonst wurde es immer nach y umgestellt, aber das bringt ja
> hier nichts. Habe oben ja nur g und h, die ich unten nicht habe?
Betrachte die gemachte Skizze genau, und es sollte folgendes auffallen:
$g \ = \ x-(-x) \ = \ x+x \ = \ 2x$
$h \ = \ y \ = \ f(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x^4+2*x^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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