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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Doremi |
| Aufgabe | Ein hölzerner Kegel hat die Höhe h=15 cm und den Grundkreisradius r=5 cm
a)Welches Gewicht hat der Kegel, wenn 1 cm³ Holz 0,8 g wiegt?
b)Der Kegel wird so durchbohrt, dass ein zylindrisches Loch mit dem Durchmesser d=3 cm entsteht.
Bestimme die Höhe des Restkörpers.
Wie viel Prozent seines Gewichts geht durch das Ausbohren des ursprünglichen Kegels verloren? |
Also Aufgabe a) (oben=314 g) habe ich verstanden und richtig gelöst, aber bei der b) war ich mir nicht sicher.
Muss ich nun Kegel + Zylinder rechnen und dann minus irgendwas?
Wie komme ich hier auf die Höhe?
Und wie berechne ich das mit den Prozenten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Annyy |
Hallo!
also, die zweite aufgabe brauchst du eigentlich nur den pytagoräischen lehrsatz:
zeichne dir eine skizze, die sieht dann aus wie ein gleichschenkeliges dreieck (der ursprüngliche zylinder), der in drei glächenstücke geteilt ist:
zwei gleiche dreiecke mit den kathete 3,5 (ursprüunglicher radius 5 - dem radius 1,5 des ausgebohrten zylinders) und der zweiten kathete x, der gesuchten höhe.
die in der mitte liegende restfläche ist ein rechteck mit einem gleichseitigen dreieck aufgesetzt.
dieses gleichseitige dreieck kannst du berechnen. die hypotenuse ist 3, den gegenüberliegenden winkel zur hypotenuse kannst du mit hilfe des tan berechnen:
tan [mm] \alpha [/mm] = 5/15
der gesamte winkel ist 2 [mm] \alpha [/mm] , somit 36,87°
mit diesem winkel kannst du nun den cos-satz formulieren:
die kathete des oberen kleinen dreiecks bezeichne ich als y
[mm] 3^2 [/mm] = 2 * [mm] y^2 [/mm] - 2 [mm] y^2 [/mm] * cos36,87
daraus erhältst du eine länge y von 4,74
jetzt wieder zurück zum großen ursprünglichen dreieck mit der basis 10 und der höhe 15
die katheten z dieses gleichschenkeligen dreiecks lassen sich mit dem PLS [mm] berechnen:z^2 [/mm] = [mm] 5^2 [/mm] + [mm] 15^2
[/mm]
z =15,81
nun wieder zum dreieck mit der den katheten 3,5 und x
von diesem dreieck kann ich nun die hypotenuse berechnen, ist sie ja z-y, und somit 11,07
somit hast du zwei seiten des dreiecks, und kannst mit dem pls die höhe x berechnen : [mm] x^2 [/mm] = [mm] 11,07^2 [/mm] - [mm] 3,5^2
[/mm]
x = 10,50
das ist also die höhe des kegelstumpfes.
um zu den volumina zu gelangen:
das volumen des ursprünglichen zylinders ist klar:
V = [mm] r^2 [/mm] * [mm] \pi [/mm] * h * (1/3)
und somit 375 [mm] \pi
[/mm]
nun berechnest du das, was herausgeschnitten wird:
das ist 1. ein kegel mit den abmessungen r = 1,5 und h = x = 10,50
und ein kleiner kegel oben drauf mit den abmessungen r = 1,5 und h = 4,50
die höhe ist wieder mit dem PLS berechnet worden [mm] h^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + [mm] 1,5^2
[/mm]
wobei ja y schon ausgerechnet 4,74 ist
damit kannst du jetzt das volumen dessen ausrechnen , was herausgeschnitten wurde:
zylinder + kegel = 23,625 [mm] \pi [/mm] + 3,375 [mm] \pi
[/mm]
v = 27 [mm] \pi
[/mm]
das restvolumen beträgt somit 375 [mm] \pi [/mm] - 27 [mm] \pi [/mm] = 348 [mm] \pi
[/mm]
somit hast du die zwei volumina 375 [mm] \pi [/mm] und 348 [mm] \pi [/mm] und kannst mit der prozentrechenregel "teil durch ganzes" die prozent bestimmen:
348/375 = 0,928 = 92,8 %
ich hoffe, ich habe keine rechenfehler hineingebracht, außerdem habe ich gerundet, da ich grade keinen taschenrechner bei der hand hatte.
aber von der vorgangsweise müsste es stimmen...es kommt mir zwar sehr aufwändig vor, aber ich wüsste keinen einfacheren lösungsweg...vielleicht gibt es aber einen.
liebste grüße, annyy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Annyy |
bin gerade draufgekommen, dass ich fehler in den bezeichnungen habe:
ganz zu beginn ist es natürlich ein kegel und kein zylinder
und bei der volumsberechnung des herausgebohrten teiles ist es ein zylinder mit einem kegel aufgesetzt.
lg
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