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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mi 02.02.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Die befahrbare Rampenfläche einer Inlinerrampe ist 4m breit und soll mit einer Spezialfarbe gestrichen werden. Beschreiben sie ein geeignetes Verfahren, durch das der Flächeninhalt näherungsweise berechnet werden kann.
Funktion der Seitenansicht der Rampe: f(x)= 0,4 [mm] (3-e^{0,2x})^2 [/mm] |
Meine Idee wäre, dass man eine zweite Funktion bestimmen könnte, die praktisch 4 m höher als die gegebene liegt. Dann könnten man doch die Fläche berechnen, die diese neue Funktion und die x-achse einschließen und von dieser die Fläche abziehen, die die Funktion f(x) und die x-Achse einschließen.
Könnte man das so machen oder ist das zu einfach gedacht?
LG und dank im Voraus!
a-c
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Adamantin |
Also ich verstehe die Aufgabe anders:
Gestrichen werden soll die Rampenfläche, also die Fläche, auf der man hinunterfährt (downinlinert?..^^).
Deine Funktion f(x) bietet dir die SEITEN-Ansicht dieser Rampe, als wenn du als Außenstehender sozusagen vor der Rampe stehen würdest und die Kids vor dir seitlich hinunterführen, von links oben nach rechts unten. Das bedeutet, du siehst die Fläche, die gestrichen werden soll, gar nicht! Du siehst nur den Verlauf dieser Fläche, genau das ist der Graph von $f$. Demzufolge fasse ich die Aufgabe so auf:
Gesucht ist die Fläche der Rampe, die befahrbar ist, nicht ihr Fundament. Die Fläche hat das Profil/den Verlauf des Graphens von f. Wüssten wir die Länge des Graphen von f vom Punkt A bis zum Punkt T, hätten wir die Seite der gesuchten Fläche. Diese geht dann in die Tiefe deines Koordinatensystems nach hinten um genau 4 Meter. Haben wir also die Seite der Fläche dann brauchen wir diese nur noch mit 4 Metern ("Tiefe") zu multiplizieren. Für mich ist also nicht die Fläche unter der Funktion f gesucht, sondern vielmehr ihre Länge von A bis T. Leider fällt mir dazu gerade keine Berechnungsmethode ein, daher nur eine Mitteilung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 02.02.2011 | | Autor: | moody |
> Meine Idee wäre, dass man eine zweite Funktion bestimmen
> könnte, die praktisch 4 m höher als die gegebene liegt.
> Dann könnten man doch die Fläche berechnen, die diese
> neue Funktion und die x-achse einschließen und von dieser
> die Fläche abziehen, die die Funktion f(x) und die x-Achse
> einschließen.
Ich finde die Idee gut quasi die Fläche zwischen der gegebenen und einer weiteren Funktion zu bestimmen.
Aber warum soll diese 4m höher liegen? Bestimme doch eine Funktion die minimal über der gegebenen liegt. Dann ist deine Fläche ja quasi die 'Länge' und die Breite hast du ja mit 4m gegeben. Daraus kriegst du dann ja deinen gesuchten Flächeninhalt.
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 03.02.2011 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ist so unsinnig wie die Formel A = a*b (statt A = a*h) für die Fläche eines beliebigen Parallelogramms.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 05.02.2011 | | Autor: | moody |
> Hi,
>
> das ist so unsinnig wie die Formel A = a*b (statt A =
> a*h) für die Fläche eines beliebigen Parallelogramms.
>
> Gruß Sax.
Hi,
das war jetzt so mein erster Gedanke. Ist die Idee mit der minimal größeren Funktion denn auch Quatsch?
Aber wenn man sich jetzt vorstellt man hat jetzt die Länge der Halfpipe bestimmt, und nimmt sich ein ganz kleines Stückchen davon und verlängert es um 4m hat man doch ein kleines Rechteck von dem man auch wie ich beschrieben den Flächeninhalt bestimmen kann.
Weil die Halfpipe ist ja an jedem Punkt der Funktion die die Seite beschreibt 4m lang, wo ist mein Denkfehler?
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Adamantin |
Du hast keinen Denkfehler, ich bin auch der Meinung, dass Sax sich irrt und wir beide Recht haben, denn wir haben es mit einer gewellten Fläche zu tun. Die 4 Meter lange Rampe ist ja nichts anderes als ein Rechteck der Fläche a*b, dass ich vor mir (z.B: als Blatt Papier) liegen habe und dann leicht zusammenschiebe, so dass sich das Papier wellt. Ähnlich wie ich ein Parallelogramm in ein Rechteck durch Umsetzten der Ecken überführen kann, so kann ich das gewellte Blatt Papier wieder "geradedrücken", indem ich die Fläche einfach glatt auf den Boden drücke. Dann habe ich wieder ein Rechteck, dass ich mit a*b berechnen kann und dabei bleibt das eine die Tiefe von 4 Metern und das andere die Länge der Kurve f zwischen A und T.
Nachtrag: Und ich wollet noch sagen, dass mich deine Idee positiv überrascht hat, natürlich sehr clever, die Länge für eine sehr geringe Verschiebung mit dem Flächeninhalt gleichzusetzten. Ich bin mir zwar 100% sicher, dass es in der Mathematik ein Verfahren gibt, um eine beliebige Kurvenstrecke längentechnisch zu erfassen, aber ich hatte ja schon gesagt, das mir dazu leider keines bekannt ist und ich passen muss. Deine Lösung erscheint mir aber eine brauchbare Annäherung, auch wenn ich nicht weiß, wie man die Höhe genau bestimmen soll. Was wäre also eine um 0,1 oder 0,01 höhere Kurve? Dazu müsste man ja erst einmal wissen, was die Ausgangsmaße waren, sprich, ob z.B. der Punkt T mit seinen ln(3)/0,2 auch eine Meterangabe war. Davon sollte man dann aber wohl ausgehen können, wenn keine weiteren Angaben gemacht wurden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 So 06.02.2011 | | Autor: | moody |
>Die 4 Meter lange Rampe
> ist ja nichts anderes als ein Rechteck der Fläche a*b,
> dass ich vor mir (z.B: als Blatt Papier) liegen habe und
> dann leicht zusammenschiebe, so dass sich das Papier wellt.
> Ähnlich wie ich ein Parallelogramm in ein Rechteck durch
> Umsetzten der Ecken überführen kann, so kann ich das
> gewellte Blatt Papier wieder "geradedrücken",
eben das habe ich mir ja auch gedacht, daher war ich von Sax antwort überrascht.
> gleichzusetzten. Ich bin mir zwar 100% sicher, dass es in
> der Mathematik ein Verfahren gibt, um eine beliebige
> Kurvenstrecke längentechnisch zu erfassen, aber ich hatte
> ja schon gesagt, das mir dazu leider keines bekannt ist und
> ich passen muss.
Und du liegst auch nicht daneben.
Die Länge einer Kurve c(t) berechnet sich als [mm] \integral_{a}^{b}{||c'(t) ||dt}
[/mm]
Quelle: http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1182
Mit Herleitung und Beweisen.
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 So 06.02.2011 | | Autor: | moody |
Ich muss zugeben das Thema beschäftigt mich jetzt und ich wollte gerade mal die Abweichung der beiden Methoden berechnen und da ich faul bin habe ich die Integrale mit Geogebra berechnet.
Ich bin mal davon ausgegangen, dass ich eine verschobene Funktion auch durch +0.00001 annähern darf.
Nun sagen wir einfach mal die Länge wäre 5m in einem bestimmten Intervall.
Und wir haben jetzt unsere 2 Funktionen die kaum auseinander liegen, so habe ich ein Integral was gegen 0 geht.
Ich bin davon ausgegangen 1 Einheit = 1 Meter und bekam für eine Distanz von 20m eine Länge von 2m für +0.1 und ursprünglich hatte ich 0.01 gewählt, der genaue Wert ist mir entfallen aber er war deutlich zu klein.
Mit Geogebra bekam ich für die Formel eine Länge von 4,42.
Dh. umso mehr ich meine Funktion in Richtung der Ursprungsfunktion verschiebe umso kleiner wird meine Fläche.
Ich fand meine Idee auch schön aber ich denke dass sie doch nicht realistisch ist.
Ich glaube nicht dass die minimal Verschiebung nach oben statt dem Suchen einer komplett neuen Funktion etwas ändern würde.
$f(x) [mm] \approx [/mm] g(x)$ dann ist ja auch [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \approx [/mm] 0$
Zugegeben ich fand meine Idee auch schön, aber passen tut sie nicht so ganz, oder ist die Annahme den Abstand der Funktion möglichst klein zu wählen falsch? Mir erschien er bis zur Probe logisch.
lg moody
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> Ich finde die Idee gut quasi die Fläche zwischen der
> gegebenen und einer weiteren Funktion zu bestimmen.
Hallo,
die Idee hat zunächst schon Charme, finde ich:
gegeben ist eine Funktion f(x) und Du möchtest die Länge des Graphen über dem Intervall [a,b] wissen.
Weil Du diese nicht berechnen kannst, überlegst Du Dir, die Funktion eine wenig (oder meinestwegen auch ein wenig mehr) zu verschieben, die Fläche zwischen den beiden Graphen zu berechnen und aus dieser dann die Länge des graphen zu gewinnen.
Verschieben wir den Graphen um d, so bekommen wir die Fläche
[mm] F=\integral_a^x((f(x)+d)-f(x))dx=\integral_a^b [/mm] d dx= d(b-a).
Die Fläche zwischen den beiden Funktionen entspricht also der Fläche eines Rechtecks mit den Seiten d und der Intervallänge b-a.
Und nun? wie bekommen wir hieraus jetzt die Seitenlänge?
Die Schwäche der Vorgehensweise wird klar, wenn Du Dir mal eine Gerade einzeichnest und sie um eine Einheit nach oben verschiebst.
Per Integral bekommst Du den Flächeninhalt eines Parallelogramms.
Möchtest Du nun auf die Länge der gesuchten Seite schließen, so müßtest Du durch die Höhe des Parallelogramms dividieren.
Dividierst Du durch die Verschiebung, so bekommst Du die Länge des Intervalls - und dafür hätte man nicht integrieren müssen.
Das in etwa war es, was Dir Sax mit seinem lapidaren Kommentar sagen wollte.
Gruß v. Angela
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> Die befahrbare Rampenfläche einer Inlinerrampe ist 4m
> breit und soll mit einer Spezialfarbe gestrichen werden.
> Beschreiben sie ein geeignetes Verfahren, durch das der
> Flächeninhalt näherungsweise berechnet werden kann.
> Funktion der Seitenansicht der Rampe: f(x)= 0,4
> [mm](3-e^{0,2x})^2[/mm]
> Meine Idee wäre, dass man eine zweite Funktion bestimmen
> könnte, die praktisch 4 m höher als die gegebene liegt.
Hallo,
zur Geometrie der Aufgabe wurde ja im Thread schon einiges gesagt:
zu berechnen ist hier die Fläche eines Rechtecks, dessen eine Seite 4m breit ist.
Die andere Seitenlänge müßtest Du noch bestimmen.
Die zu bestimmende Seitenlänge ist gegeben durch die Funktion [mm] f(x)=0,4(3-e^{0,2x})^2, [/mm] und zwar über einem gewissen Intervall [a,b], denn ich denke nicht, daß so eine Rampe zum Rollschuhfahren unendlich lang ist...
Du brauchst also erstmal die Länge des Graphen von f zwischen der Startstelle a und der Endstelle b.
Diese berechnet sich zu [mm] L([a,b])=\wurzel{1+(f'(x))^2}, [/mm] was hier in Thread etwas anders formuliert auch schon gesagt wurde.
(Ich habe es nicht nachgeprüft, aber ich denke, daß man für dieses Integral eine Stammfunktion gar nicht explizit wird angeben können.)
Du sollst lt. Aufgabenstellung aber solch eine fertige Formel überhaupt nicht verwenden, sondern eine Idee entwickeln, mit welcher Du den Flächeninhalt näherungsweise bekommst, was darauf hinausläuft, eine Idee dafür zu haben, wie man die Länge des Graphen näherungsweise bestimmen kann.
Eine sehr grobe Näherung ist sicher die Länge der Strecke, die den Startpunkt (a,f(a)) mit dem Endpunkt (b, f(b)) verbindet.
Durch Unterteilen des Graphen kannst Du diese Idee verfeinern...
Gruß v. Angela
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