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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 So 04.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Die Durchbiegung eines Bauteils bei Einwirkung einer Kraft von außen hängt u.a. von der Biegesteifigkeit des Bauteils ab. Ein Maß für die Biegesteifigkeit des Bauteils ist das Flächenmoment I. Das Flächenmoment I ist unabhängig vom Material und es gilt das physikalische Gesetz, je größer das Flächenmoment I, desto geringer die Durchbiegung des Bauteils bei Krafteinwirkung. Für rechteckige Querschnitte berechnet sich das Flächenmoment I durch [mm] \bruch{b \cdot{}h³}{12}, [/mm] wobei b für die Breite und h für die Höhe des rechteckigen Bauteils gilt.
a) Geben Sie das Flächenmoment I für einen quadratischen Querschnitt an.
b) Berechnen Sie das Flächenmoment I für einen Flachstahl 20 mm x 80 mm.
c) Aus einem Rundstahl mit dem Durchmesser 30 mm soll durch spanende Bearbeitung ein Bauteil mit rechteckigem Querschnitt mit möglichst großer Tragfähigkeit gefertigt werden. Für das Flächenmoment I(h) des Bauteils in Abhängigkeit der Bauteilhöhe h gilt die
Gleichung [mm] I(h)=\bruch{1}{12}\wurzel{900mm²-h²}\cdot{} [/mm] h³ = [mm] \bruch{1}{12}\wurzel{900mm² \cdot{} h^6 - h^8}
[/mm]
Geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge an und untersuchen Sie, in welchen Bereichen der Definitionsmenge der Graph der Funktion I monoton steigt bzw. monoton fällt. |
Hallo Zusammen,
a)
wie soll ich denn auf den quadratischen Querschnitt kommen? wahrscheinlich irgendwie von der angegeben Formel für den rechteckigen Querschnitt.
b)
hier muss ich doch dann die Formel für den quadratischen Querschnitt hernehmen (länge mal breite). wenn ich den für den rechteckigen hernehme:
I = [mm] \bruch{80 \cdot{} (20)³}{12} [/mm] = 53333,33 kommt dies heraus. das kann nicht stimmen?
c)
bei der Definitionsmenge fällt mir überhaupt nichts ein. bei monoton fallend bzw. steigend, bilde ich die erste Ableitung:
I'(h) = [mm] \bruch{1}{12} \cdot{} \bruch{1800mm \cdot{} 6h^5 - 8h^7}{2\wurzel{900mm² \cdot{} h^6 - h^8}}
[/mm]
nun die Ableitung gleich null setzen und den Bruch mit multiplizieren wegebekommen:
[mm] \bruch{1}{12} \cdot{} [/mm] 1800mm [mm] \cdot{} 6h^5 [/mm] - [mm] 8h^7 [/mm] = 0
wie bekomme ich den daraus eine quadratische Gleichung um somit die Nullstellen zu bestimmen und dann zu schauen wo die Funktion monoton wächst bzw. fällt? Vielen Dank im Voraus.
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Hallo!
> a)
> wie soll ich denn auf den quadratischen Querschnitt
> kommen? wahrscheinlich irgendwie von der angegeben Formel
> für den rechteckigen Querschnitt.
Für einen rechteckigen Querschnitt sind also Höhe h und Breite b in die Formel einzugeben. Ja, wie ist denn der Zusammenhang zwischen Höhe und Breite bei nem Quadrat? Sagen wir einfach, die Breite des Quadrats sei a. Wie lautet dann die Formel für I?
>
> b)
> hier muss ich doch dann die Formel für den quadratischen
> Querschnitt hernehmen (länge mal breite). wenn ich den für
> den rechteckigen hernehme:
>
> I = [mm]\bruch{80 \cdot{} (20)³}{12}[/mm] = 53333,33 kommt dies
> heraus. das kann nicht stimmen?
Warum kann das nicht stimmen, du hast das richtig gerechnet. Zur Vollständigkeit würde auch auch noch den anderen Wert berechnen, bei dem das material um 90° gedreht wird, Höhe und Breite also vertauscht werden.
>
> c)
> bei der Definitionsmenge fällt mir überhaupt nichts ein.
Aus dem Kreis wird doch ein Rechteck ausgeschnitten. Das kann natürlich nicht höher sein, als der Kreis, das beschränkt die Definitionsmenge.
Zudem, da stehen Wurzelfunktionen, und das unter einer Wurzel darf niemals negativ werden. Daraus ergibt sich eine Bedingung für h.
> bei monoton fallend bzw. steigend, bilde ich die erste
> Ableitung:
>
> I'(h) = [mm]\bruch{1}{12} \cdot{} \bruch{1800mm \cdot{} 6h^5 - 8h^7}{2\wurzel{900mm² \cdot{} h^6 - h^8}}[/mm]
>
> nun die Ableitung gleich null setzen und den Bruch mit
> multiplizieren wegebekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{12} \cdot{}[/mm] 1800mm [mm]\cdot{} 6h^5[/mm] - [mm]8h^7[/mm] = 0
>
> wie bekomme ich den daraus eine quadratische Gleichung um
> somit die Nullstellen zu bestimmen und dann zu schauen wo
> die Funktion monoton wächst bzw. fällt? Vielen Dank im
> Voraus.
Sofern die Rechnung stimmt, kannst du doch jetzt [mm] h^5 [/mm] ausklammern, Damit gibt es eine fünffache Nullstelle bei h=0, und es bleibt eine sehr einfache quad. Gleichung übrig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 04.11.2007 | | Autor: | itse |
> > a)
> > wie soll ich denn auf den quadratischen Querschnitt
> > kommen? wahrscheinlich irgendwie von der angegeben Formel
> > für den rechteckigen Querschnitt.
>
> Für einen rechteckigen Querschnitt sind also Höhe h und
> Breite b in die Formel einzugeben. Ja, wie ist denn der
> Zusammenhang zwischen Höhe und Breite bei nem Quadrat?
> Sagen wir einfach, die Breite des Quadrats sei a. Wie
> lautet dann die Formel für I?
in einem quadrat sind alle seiten gleich lang. also auch die höhe, somit müsste die formel, folgendermaßen lauten:
$I = [mm] \bruch{a²}{12}$ [/mm] ?
> > b)
> > hier muss ich doch dann die Formel für den
> quadratischen
> > Querschnitt hernehmen (länge mal breite). wenn ich den für
> > den rechteckigen hernehme:
> >
> > I = [mm]\bruch{80 \cdot{} (20)³}{12}[/mm] = 53333,33 kommt dies
> > heraus. das kann nicht stimmen?
>
> Warum kann das nicht stimmen, du hast das richtig
> gerechnet. Zur Vollständigkeit würde auch auch noch den
> anderen Wert berechnen, bei dem das material um 90° gedreht
> wird, Höhe und Breite also vertauscht werden.
Drehumg um 90°:
$I = [mm] \bruch{20 \cdot{} (80)³}{12} [/mm] = 853333,33$
> > c)
> > bei der Definitionsmenge fällt mir überhaupt nichts
> ein.
>
> Aus dem Kreis wird doch ein Rechteck ausgeschnitten. Das
> kann natürlich nicht höher sein, als der Kreis, das
> beschränkt die Definitionsmenge.
> Zudem, da stehen Wurzelfunktionen, und das unter einer
> Wurzel darf niemals negativ werden. Daraus ergibt sich eine
> Bedingung für h.
angenommen die höhe für den kreis ist c und die höhe für das rechteck ist t. dann ergibt sich dies
D= c [mm] $\le$ [/mm] t; h [mm] $\ge$ [/mm] 0
so müsste es passen?
> > bei monoton fallend bzw. steigend, bilde ich die erste
> > Ableitung:
> >
> > I'(h) = [mm]\bruch{1}{12} \cdot{} \bruch{1800mm \cdot{} 6h^5 - 8h^7}{2\wurzel{900mm² \cdot{} h^6 - h^8}}[/mm]
>
> >
> > nun die Ableitung gleich null setzen und den Bruch mit
> > multiplizieren wegebekommen:
> >
> > [mm]\bruch{1}{12} \cdot{}[/mm] 1800mm [mm]\cdot{} 6h^5[/mm] - [mm]8h^7[/mm] = 0
> >
> > wie bekomme ich den daraus eine quadratische Gleichung um
> > somit die Nullstellen zu bestimmen und dann zu schauen wo
> > die Funktion monoton wächst bzw. fällt? Vielen Dank im
> > Voraus.
>
>
> Sofern die Rechnung stimmt, kannst du doch jetzt [mm]h^5[/mm]
> ausklammern, Damit gibt es eine fünffache Nullstelle bei
> h=0, und es bleibt eine sehr einfache quad. Gleichung
> übrig.
gut dann klammere ich [mm] h^5 [/mm] mal aus und die Bezeichnung mm lass ich weg (irrelevant), dann kommt dies heraus:
[mm] \bruch{1}{12} \cdot{} [/mm] 1800 [mm] \cdot{} h^5(6-8h²)=0 |/\bruch{1}{12} [/mm] /1800
[mm] h^5(6-8h²)=0
[/mm]
dann würde dieser Term null werden, wenn h=0 oder wenn [mm] h=\wurzel{0,75} [/mm] wäre. stimmt dies? wenn ja, dann müsste ich nun überprüfen was links von 0, zwischen 0 und [mm] \wurzel{0,75} [/mm] und was rechts von [mm] \wurzel{0,75} [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 04.11.2007 | | Autor: | itse |
a)
Ergänzung, dann müsste die Formel so lauten:
[mm]I = \bruch{a \cdot{} (a)³}{12}[/mm] ?
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Hallo!
Mit deiner Ergänzung zur a) hast du recht.
Die b) ist ebenso richtig gelöst (Durch den Vergleich der beiden Fälle, weißt du nun, warum T-Träger so stabil sind?)
c) Nja, das kann man so sagen. Normalerweise gibt man bei Kreisen ja den Radius oder den Durchmesser an. Sofern du mit c den Durchmesser meinst, ist das richtig.
d) hast du nun auch richtig. Mathematisch gibts natürlich noch die Lösung [mm] -\wurzel\frac{3}{4} [/mm] , aber praktisch entfällt die natürlich.
Wenn man etwas pragmatisch ist, ist man damit fertig, denn es sollte klar werden, daß I, wenn die Höhe 0 ist, auch 0 ist. Wächst die Höhe an, wird I auch größer, aber irgendwann macht uns die Breite (die hier jetzt nicht explizit drin steht) nen Strich durch die Rechnung. Denn wenn die Breite 0 ist, ist I auch wieder 0. Demnach kann dazwischen nur ein Maximum liegen, sofern die Funktion sich friedlich verhält.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 04.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Die b) ist ebenso richtig gelöst (Durch den Vergleich der
> beiden Fälle, weißt du nun, warum T-Träger so stabil
> sind?)
Nein weiß ich nicht, warum denn? Danke, itse.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> (Durch den Vergleich der beiden Fälle, weißt du nun, warum T-Träger so
> stabil sind?)
Da bei diesen Querschnitten das Verhältnis des Trägheitsmomentes zu der Querschnittsfläche (und damit auch des Eigengewichtes) sehr günstig ist.
Hauptverantwortlich ist dafür der sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Steiner-Anteil.
Gruß
Loddar
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