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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Hund |
| Aufgabe | An dem Ende eines Seils, das über eine trägheitsfreie Rolle geführt ist, hänge eine Masse M. An seinem anderen Ende ist die Halterung für eine zweite masselose Rolle befestigt, die ihrerseits ein Seil mit den beiden Massen [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] trägt.
Bestimmen Sie die Beschleunigung von M.
Berechnen Sie dazu alle Seilkräfte. |
Hallo,
also ich habe mir überlegt, da auf [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] die Kraft:
[mm] F_{1}=-m_{1}g+m_{2}g+F_{S} [/mm] auf m1
bzw.
[mm] F_{2}=-m_{2}g+m_{1}g+F_{S} [/mm] wirkt, wobei [mm] F_{S} [/mm] die Kraft ist, die von der Masse M ausgeht, da es an der anderen Seite der Rolle hängt.
Aber wie mache ich weiter?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Fr 02.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> An dem Ende eines Seils, das über eine trägheitsfreie Rolle
> geführt ist, hänge eine Masse M. An seinem anderen Ende ist
> die Halterung für eine zweite masselose Rolle befestigt,
> die ihrerseits ein Seil mit den beiden Massen [mm]m_{1}[/mm] und
> [mm]m_{2}[/mm] trägt.
>
> Bestimmen Sie die Beschleunigung von M.
>
> Berechnen Sie dazu alle Seilkräfte.
> Hallo,
>
> also ich habe mir überlegt, da auf [mm]m_{1}[/mm] und [mm]m_{2}[/mm] die
> Kraft:
> [mm]F_{1}=-m_{1}g+m_{2}g+F_{S}[/mm] auf m1
> bzw.
> [mm]F_{2}=-m_{2}g+m_{1}g+F_{S}[/mm] wirkt, wobei [mm]F_{S}[/mm] die Kraft
> ist, die von der Masse M ausgeht, da es an der anderen
> Seite der Rolle hängt.
Überlege dir, welche Kräfte auf die beiden Seile wirken. Die Kraft entlang eines Seils ist konstant, sie wirkt allerdings wegen der Rollen nicht überall in die gleiche Richtung.
Dann bedenke, dass von außen nur die Gewichtskraft auf die drei Massen wirkt.
Am besten, du malst dir alle Kräfte nach Betrag un Richtung auf.
Du betrachtest die zweite Rolle, OK. Auf die Masse [mm]m_1[/mm] wirkt die Gewichtskraft und die Kraft [mm]F_{S2}[/mm] entlang des Seils, auf die Masse [mm]m_2[/mm] ebenso. Auf die dazugehörige Rolle wirkt die Kraft [mm]F_S[/mm] entlang des ersten Seils, sowie [mm]2F_{S2}[/mm], einmal für jede seite des zweiten Seils. Da die Rolle masselos ist, ist [mm]F_S = 2 F_{S2}[/mm].
Jetzt müsstest du nur noch Alles ineinander einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Also ist dann die auf M wirkende Kraft: [mm] F=Mg-F_{S}=Mg-2F_{S2}. [/mm] Aber wie erhalte ich jetzt [mm] F_{S2}? [/mm] Daraus könnte ich ja aus F=Ma die Beschleunigung für M ausrechnen, die gesucht war.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen Dank für deine Antwort. Also ist dann die auf M
> wirkende Kraft: [mm]F=Mg-F_{S}=Mg-2F_{S2}.[/mm] Aber wie erhalte ich
> jetzt [mm]F_{S2}?[/mm] Daraus könnte ich ja aus F=Ma die
> Beschleunigung für M ausrechnen, die gesucht war.
Weil die Massen mit dem Seil verbunden sind, sind die Beschleunigungen, die sie erfahren, bis auf das Vorzeichen gleich. Daraus kannst du [mm]F_{S2}[/mm] bestimmen.
Bei der ersten Rolle ist das einfacher, weil sie fest ist, und die Befestigung beliebige Kräfte aufnimmt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also ich habe das jetzt so gemacht:
m1 und m2 sind über das Seil verbunden, also erfahren beide die gleiche Beschleunigung, nur mit verschiedeneb Vorzeichen, also gilt:
[mm] a_{m1}=-a{m2}
[/mm]
oder mit Newtons Gleichung:
[mm] F_{m1}/m1=-F_{m2}/m2
[/mm]
[mm] m_{2}F_{m1}=-m_{1}F_{m2} [/mm] (1)
Für die beiden kann mandoch den Ansatz machen:
[mm] F_{m1}=-m_{1}g+m_{2}g+F_{S}
[/mm]
[mm] F_{m2}=-m_{2}g+m_{1}g+F_{S},
[/mm]
da m1 und m2 über das zweite Seil Seil verbunden sind und [mm] F_{S} [/mm] die Fadenspannung des ersten Seils ist.
Eingesetzt in die obere Gleichung (1) ergibt dies:
[mm] m_{2}(-m_{1}g+m_{2}g+F_{S})=-m_{1}(-m_{2}g+m_{1}g+F_{S})
[/mm]
Daraus lässt sich nun [mm] F_{S} [/mm] berechnen. Auf M wirkt die Kraft [mm] -Mg+F_{S} [/mm] und daraus kann man dann die gesuchte Beschleunigung berechnen.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Sorry, ich hab nicht aufgepasst, so wie ich es in der letzten Antwort geschrieben habe, ist es falsch.
Von der zweiten Rolle aus gesehen sind die Beschleunigungen der Massen [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm] entgegengesetzt gleich. Die Rolle selbst macht aber eine beschleunigte Bewegung, ihre Beschleunigung ist entgegengesetzt gleich der Beschleunigung, die die Masse M erfährt. Die Beschleunigung der Massen [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm] ergibt sich daher, indem man diese Beschleunigung draufaddiert.
> Für die beiden kann mandoch den Ansatz machen:
> [mm]F_{m1}=-m_{1}g+m_{2}g+F_{S}[/mm]
> [mm]F_{m2}=-m_{2}g+m_{1}g+F_{S},[/mm]
>
> da m1 und m2 über das zweite Seil Seil verbunden sind und
> [mm]F_{S}[/mm] die Fadenspannung des ersten Seils ist.
Ich verstehe, wie du drauf kommst, aber ich glaube, das ist falsch. Die Argumentation hinter diesen Gleichungen ist doch die: entlang des Seils wirken die Gewichtskräfte der Massen, also addiert [mm]-m_{1}g+m_{2}g[/mm]. Zusätzlich wird die Rolle mit [mm]F_S[/mm] nach oben gezogen, also ergeben sich diese Gleichungen.
Der Haken daran ist, dass du die Kraft [mm]F_S[/mm] einfach aufaddierst, statt auszurechnen, welche Kraft durch das Seil übertragen wird.
Mein Argument ist, dass das Seil jeweils die gleiche Kraft [mm]F_{S2}[/mm] auf die beiden Massen ausübt, und dass [mm]F_S=2F_{S2}[/mm] ist, weil Summe der Kräfte auf die Rolle 0 ist.
Ich gebe zu, dass das zunächst Alles sehr merkwürdig klingt, ging mir anfangs auch so. Mechanik mit Zwangsbedingungen ist manchmal ganz schön unanschaulich.
Mein Vorschlag zur Lösung ist: schreib dir die Beziehungen der Kräfte und Beschleunigungen auf! Das ergibt ein lineares Gleichungssystem, aus dem du alle unbekannten Größen bestimmen kannst.
(Ich hab's mittels Lagrangefunktion nachgerechnet, dass das Richtige rauskommt.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wie kommst du denn auf [mm] F_{S}=2F{S_2}? [/mm] Das verstehe ich irgendwie nicht.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wie kommst du denn auf [mm]F_{S}=2F_{S_2}?[/mm] Das verstehe ich
> irgendwie nicht.
Die zweite, frei bewegliche Rolle ist masselos. Die Summe aller angreifenden Kräfte ist 0.
Auf die Rolle wirken:
1. Die Kraft entlang des Seils nach oben: [mm]F_S[/mm].
2. Die beiden Kräfte, die das Seil über die Rolle nach rechts unte bzw. links unte überträgt. Da die Kraft entlang des Seils die gleiche ist, müssen diese beiden gleich sein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Ist mein obiger Ansatz den richtig?
Ich hoffe,ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 04.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also habe ich das jetzt so richtig verstanden? Ich suche ja die Beschleunigung a von M. Für die gilt ja:
[mm] F_{M}=Ma. [/mm] Also muss ich die auf M wirkende Kraft ausrechnen. Das ist einmal die Gwichtskraft -Mg und die Seilspannung des ersten Seiles [mm] F_{S}, [/mm] also:
[mm] F_{M}=-Mg+F_{S}.
[/mm]
Also muss ich jetzt die Seilspannung [mm] F_{S} [/mm] bestimmen. Dazuüberlegt man sich, welche Kräfte auf die zweite Rolle wirken. Das ist einmal die Seilspannung des ersten Seiles und zweimal die Seilspannung [mm] F_{S2} [/mm] des zweiten Seiles:
[mm] F_{S}-2F_{S2}=ma=0, [/mm] da Rolle masselos, also:
[mm] F_{S}=2F_{S2}.
[/mm]
Jetzt ist [mm] F_{S2} [/mm] zu bestimmen. Wie mache ich das? Die Beschleunigungen von m1 und m2 sind nicht gleich, was ist dann meine Bestimmungsgleichung?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 04.11.2007 | | Autor: | Hund |
Kann man für [mm] F_{S2} [/mm] die Summe der Gewichtskräfte annehmen, da die Rolle die Gewichte hält?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 So 04.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kann man für [mm]F_{S2}[/mm] die Summe der Gewichtskräfte annehmen,
> da die Rolle die Gewichte hält?
Die Rolle wird aber zusammen mit den Massen mit a beschleunigt, daher musst du noch [mm](m_1+m_2)a[/mm] dazunehmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 04.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Jetzt ist [mm]F_{S2}[/mm] zu bestimmen. Wie mache ich das? Die
> Beschleunigungen von m1 und m2 sind nicht gleich, was ist
> dann meine Bestimmungsgleichung?
Entlang des Seils wirkt die Kraft [mm]F_{S2}[/mm], daher wirkt auf die Masse [mm]m_1[/mm] die Kraft [mm]F_{S2}-m_1g[/mm], auf die Masse [mm]m_2[/mm] die Kraft [mm]F_{S2}-m_2g[/mm].
Die Beschleunigung, die die Masse [mm]m_1[/mm] erfährt, setzt sich zusammen aus der Beschleunigung, die die Rolle erfährt, also a, und der Beschleunigung, die das Seils über die Rolle erfährt, die nenne ich [mm]a_{S2}[/mm].
Daher ist:
[mm]m_1(a+a_{S2}) = F_{S2}-m_1g[/mm]
[mm]m_2(a-a_{S2}) = F_{S2}-m_2g[/mm]
Jetzt kannst du alle Größen ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
danke, ich glaube jetzt habe ich es verstanden!!!
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
da gibt es noch was, was ich nicht verstehe, du sagtest, dass die auf m1 wirkende Kraft -m1+FS2 ist. Das ist doch aber nur die von der zweiten Rolle aus gesehene Kraft. Die vom festen Punkt (z.B. der ersten Rolle) aus gesehene Kraft wäre doch -m1g+FS2+FS, also zusätzlich noch die Seilspannung des ersten Seiles.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> da gibt es noch was, was ich nicht verstehe, du sagtest,
> dass die auf m1 wirkende Kraft -m1+FS2 ist. Das ist doch
> aber nur die von der zweiten Rolle aus gesehene Kraft.
Nein, so würde ich das auf keinen Fall sagen. Wenn ich vor das gesamte System stelle und frage: Welche Kräfte wirken auf [mm]m_1[/mm], dann gibt es nur das Seil und die Gravitation. Wie die Kraft auf das Seil zustande kommt, ist egal.
Du kannst die Kräfte immer nur relativ zur einem bestimmten Bezugssystem angeben. "Kräfte von einem bestimmten Punkt aus gesehen" ist kein sinnvoller Begriff, ohne zu sagen, in welchem Bezugssystem. Sinnvoll wäre: "in dem System, in dem der Punkt (die Rolle) ruht".
> Die
> vom festen Punkt (z.B. der ersten Rolle) aus gesehene Kraft
> wäre doch -m1g+FS2+FS, also zusätzlich noch die
> Seilspannung des ersten Seiles.
Das untere Seil überträgt die Kraft FS2, also zieht es [mm]m_1[/mm] nach mit FS2 nach oben. Es wird keine zusätzliche Kraft aus der Ferne übertragen.
Viele Grüße
Rainer
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