Fluss eines Vektorfeldes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Sa 04.08.2007 | | Autor: | BobbyX |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes
[mm] F(x,y,z)=(xz,yz,z^2)
[/mm]
durch die Oberfläche des Zylinders [mm] Z={(x,y,z)\in \IR^3: x^2+y^2<=a^2, 0<=z<=b}
[/mm]
a) direkt, und
b) mit dem Satz von Gauß
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Guten Tag,
ich schreibe diesen Dienstag meine finale höhere mathematik Klausur und habe ein problem.
Und zwar weiß ich nicht wie ich das integral in der aufgabenstellung direkt berechnen soll. Habe hier mal einen ansatz als bild gepostet, aber komme einfach nicht auf das selbe ergebnis wie bei der Gauß-methode, die imho richtig ist.
Wäre sehr nett wenn mir jemand da helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]F(x,y,z)=(xz,yz,z^2)[/mm]
> durch die Oberfläche des Zylinders [mm]Z={(x,y,z)\in \IR^3: x^2+y^2<=a^2, 0<=z<=b}[/mm]
>
> a) direkt, und
> b) mit dem Satz von Gauß
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> Guten Tag,
> ich schreibe diesen Dienstag meine finale höhere
> mathematik Klausur und habe ein problem.
> Und zwar weiß ich nicht wie ich das integral in der
> aufgabenstellung direkt berechnen soll. Habe hier mal einen
> ansatz als bild gepostet, aber komme einfach nicht auf das
> selbe ergebnis wie bei der Gauß-methode, die imho richtig
> ist.
>
> Wäre sehr nett wenn mir jemand da helfen könnte!
Ich verstehe bei Deinem Bildanhang einiges nicht so recht: vielleicht hilft es Dir, wenn ich erst einmal dämliche Fragen dazu stelle:
1. Ich bin der Meinung, dass Dein Integral #2
[mm]\int_0^{a^2}\int_0^{2\pi}\int_0^b 4z\; dz\; d\psi\; dr[/mm]
zumindest rein formal, falsch ist (auch wenn das Ergebnis vielleicht stimmen mag). Grund: Zum ersten variiert ja der Radius $r$ nur im Bereich $0$ bis $|a|$. D.h. [mm] $a^2$ [/mm] als obere Grenze des äusseren Integrals ist falsch.
Zum zweiten: das Volumenelement bei Zylinderkoordinaten ist nicht [mm] $dz\; d\psi\; [/mm] dr$ sondern [mm] $dz\; r\; d\psi\; [/mm] dr$.
2. Des weiteren sehe ich nicht, dass Du bei der Rechnung über das Aufintegrieren des Flusses durch die Oberfläche des Zylinders die Teilflüsse durch die Mantelfläche, durch Grund- und Deckfläche alle berechnet und zusammengezählt hast. (Ich verstehe Deine Rechnung allerdings ohnehin nicht so recht: ich denke, Du solltest schon etwas erklärenden Text zur blossen Rechnung dazugeben.)
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:02 Sa 04.08.2007 | | Autor: | BobbyX |
Danke, du hast natürlich recht mit der grenze von r. Hatte nicht bedacht, dass das [mm] x^2+y^2=r^2=a^2 [/mm] also r=a ist und durch das geänderte volumenelement kommt dann [mm] 2\pi a^2 b^2 [/mm] raus.
Nochmal als erläuterung zum direkten weg. Bin von der Formel für fluss eines Vektorfeldes durch eine Oberfläche [mm] \integral_{S}^{}{v*n dO} [/mm] ausgegangen (eigentlich doppelintegral).
Habe dann zuerst die normale n berechnen lassen und diese dann mit dem vektorfeld selber multipliziert. Ergebnis war ein skalar. Ab dahin ist es aber glaube ich komplett falsch, weil ich nicht mehr denke, dass es sinn macht [mm] z^2 [/mm] festzuhalten; allerdings weiß ich nicht wie man sonst auf das ergebnis kommen soll...
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Ich kann leider auf Deine Korrekturmitteilung nicht antworten. Daher schreibe ich diese neue Antwort auf Deine ursprüngliche Frage.
Für die direkte Berechnung des Flusses von
[mm]\vec{F}=\vektor{r\cos(\psi)\cdot z\\r\sin(\psi)\cdot z\\ z^2}[/mm]
durch die Oberfläche des Zylinders hast Du ja drei verschiedene Teilflüsse zu summieren:
1. den Fluss durch den Zylindermantel:
[mm]\int_M \vec{F}\cdot d\vec{O}_M=\int_0^b\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\vektor{\cos(\psi)\\\sin(\psi)\\ 0} a\; d\psi\; dz[/mm]
2. den Fluss durch den Boden des Zylinders:
[mm]\int_B \vec{F}\cdot d\vec{O}_B=\int_0^a\int_0^{2\pi} \vec{F}\cdot\vektor{0\\ 0\\ -1} r\; d\psi\; dr[/mm]
und
3. den Fluss durch den Deckel des Zylinders:
[mm]\int_D \vec{F}\cdot d\vec{O}_D=\int_0^a\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\vektor{0\\ 0\\ 1} r\; d\psi\; dr[/mm]
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> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]F(x,y,z)=(xz,yz,z^2)[/mm]
> durch die Oberfläche des Zylinders [mm]Z={(x,y,z)\in \IR^3: x^2+y^2<=a^2, 0<=z<=b}[/mm]
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> a) direkt, und
> b) mit dem Satz von Gauß
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> Guten Tag,
> ich schreibe diesen Dienstag meine finale höhere
> mathematik Klausur und habe ein problem.
> Und zwar weiß ich nicht wie ich das integral in der
> aufgabenstellung direkt berechnen soll. Habe hier mal einen
> ansatz als bild gepostet, aber komme einfach nicht auf das
> selbe ergebnis wie bei der Gauß-methode, die imho richtig
> ist.
Nein, ich denke, die ist nicht ganz richtig (um einen Faktor 2 daneben). Lass mich mal die Divergenz aufintegrieren:
[mm]\int_0^a\int_0^{2\pi}\int_0^b 4z\; dz\; r\; d\psi\; dr=\int_0^a\int_0^{2\pi}2b^2r\; d\psi\; dr=\int_0^a4\pi b^2 r\; dr=4\pi b^2\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^a=\red{2\pi a^2 b^2}[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt mit meinem Aufsummieren der Flüsse durch Mantel, Grund- und Deckfläche überein. Für den Fluss durch den Mantel erhalte ich [mm] $\pi a^2 b^2$, [/mm] für den Fluss durch die Grundfläche $0$ und für den Fluss durch die Deckfläche nochmals [mm] $\pi a^2 b^2$.
[/mm]
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> Wäre sehr nett wenn mir jemand da helfen könnte!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 04.08.2007 | | Autor: | BobbyX |
ich weiß auch nicht was ich falsch mache; also das mit dem satz von gauß ist jetzt klar. nur schaffe ich es nicht auf die ergebnisse zu kommen die du für mantel und deckflächen bekommen hast.
Wie gehe ich denn genau vor? Habe z.B. das integral [mm] \int_D \vec{F}\cdot d\vec{O}_D=\int_0^a\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\vektor{0\\ 0\\ 1} r\; d\psi\; [/mm] dr , dann skalar-multipliziere ich die vektoren und erhalte [mm] z^2 [/mm] in dem fall. Wenn ich dies nun integriere (vorher mit a multiplizieren) erhalte ich 2 [mm] \pi*a^2*z^2 [/mm] aber nicht [mm] \pi*a^2*b^2; [/mm] weil ich ja z.B. [mm] b^2 [/mm] schonmal gar nicht in meinen grenzen drin habe und auch das [mm] z^2 [/mm] durch die integration unberührt bleibt.
Was mache ich falsch?
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> ich weiß auch nicht was ich falsch mache; also das mit dem
> satz von gauß ist jetzt klar. nur schaffe ich es nicht auf
> die ergebnisse zu kommen die du für mantel und deckflächen
> bekommen hast.
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> Wie gehe ich denn genau vor? Habe z.B. das integral [mm]\int_D \vec{F}\cdot d\vec{O}_D=\int_0^a\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\vektor{0\\ 0\\ 1} r\; d\psi\;[/mm]
> dr , dann skalar-multipliziere ich die vektoren und erhalte
> [mm]z^2[/mm] in dem fall. Wenn ich dies nun integriere (vorher mit a
> multiplizieren) erhalte ich 2 [mm]\pi*a^2*z^2[/mm] aber nicht
> [mm]\pi*a^2*b^2;[/mm] weil ich ja z.B. [mm]b^2[/mm] schonmal gar nicht in
> meinen grenzen drin habe und auch das [mm]z^2[/mm] durch die
> integration unberührt bleibt.
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> Was mache ich falsch?
Siehe meine Detailangaben zur direkten Berechnung des Flusses durch die Oberfläche des Zylinders, die ich in der Antwort https://www.vorhilfe.de/read?i=286975 gegeben habe.
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> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]F(x,y,z)=(xz,yz,z^2)[/mm]
> durch die Oberfläche des Zylinders [mm]Z={(x,y,z)\in \IR^3: x^2+y^2<=a^2, 0<=z<=b}[/mm]
>
> a) direkt
Lass mich, der Vollständigkeit halber, noch die Berechnung der drei Teilflüsse durch Mantel, Grund- und Deckfläche aufschreiben:
Der Fluss durch den Zylindermantel ist
[mm]\int_0^b\int_0^{2\pi}\vektor{a\cos(\psi)\cdot z\\a\sin(\psi)\cdot z\\z^2}\cdot\vektor{\cos(\psi)\\\sin(\psi)\\ 0}\; a\; d\psi\; dz=\int_0^b\int_0^{2\pi}a^2z\; d\psi\; dz=\int_0^b2\pi a^2 z\; dz = \pi a^2b^2[/mm]
Der Fluss durch die Grundfläche ist
[mm]\int_0^a\int_0^{2\pi}\vektor{0\\0\\0}\cdot\vektor{0\\0\\-1}\; r\,d\psi\; dr=\int_0^a\int_0^{2\pi}0\; d\psi\; dr=0[/mm]
Und der Fluss durch die Deckfläche ist
[mm]\int_0^a\int_0^{2\pi}\vektor{r\cos(\psi)\cdot b\\r\sin(\psi)\cdot b\\b^2}\cdot\vektor{0\\0\\1}\; r\,d\psi\; dr=\int_0^a\int_0^{2\pi}b^2 r\; d\psi\; dr=\int_0^a 2\pi b^2\; r\; dr=\pi a^2 b^2[/mm]
Der Gesamtfluss ist also [mm] $\pi a^2 b^2+0+\pi a^2 b^2=2\pi a^2 b^2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 04.08.2007 | | Autor: | BobbyX |
Ich werd das morgen früh nochmal alles durchrechnen, sieht aber schonmal gut aus. Auf jeden fall vielen dank für die schnelle und kompetente hilfe!
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