Fluss eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie den Fluss des Vektorfeldes F(x,y,z) = [mm] (x^{2},y^{2},x^{2}) [/mm] durch die Oberfläche des Kreiskegels, der durch die Flächen [mm] F_{1}=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \le2 , z=\wurzel{x^{2}+y^{2}}\} [/mm] und [mm] F_{2}=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \le2 , (x,y,\wurzel{2})\} [/mm] berandet wird. |
Servus,
ich scheitere leider schon ganz zu Beginn der Aufgabe, ich verstehe nicht wie die beiden Flächen im Raum liegen und aussehen.
Das nächste Problem ist, wie ermittle ich aus den Flächen meine Integrationsgrenzen und das dritte Problem lautet, wie gehe ich bei solch einer Aufgabenstellung sinnvoll vor? Über ein Oberflächenintegral oder besser mit dem Gauß?
Danke für Eure Hilfe.
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlimmer_finger,
> Berechnen sie den Fluss des Vektorfeldes F(x,y,z) =
> [mm](x^{2},y^{2},x^{2})[/mm] durch die Oberfläche des Kreiskegels,
> der durch die Flächen [mm]F_{1}=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \le2 , z=\wurzel{x^{2}+y^{2}}\}[/mm]
> und [mm]F_{2}=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \le2 , (x,y,\wurzel{2})\}[/mm]
> berandet wird.
> Servus,
>
> ich scheitere leider schon ganz zu Beginn der Aufgabe, ich
> verstehe nicht wie die beiden Flächen im Raum liegen und
> aussehen.
Nun, das ist ein Kreiskegel mit Höhe [mm]\wurzel{2}[/mm]
und Grundkreisradius ebenfalls [mm]\wurzel{2}[/mm], deren
Spitze sich im Punkt (0,0,0) befindet.
> Das nächste Problem ist, wie ermittle ich aus den Flächen
> meine Integrationsgrenzen und das dritte Problem lautet,
Parametrisiere hier zunächst die Fläche [mm]F_{1}[/mm].
> wie gehe ich bei solch einer Aufgabenstellung sinnvoll vor?
> Über ein Oberflächenintegral oder besser mit dem Gauß?
Über ein Oberflächenintegral.
>
> Danke für Eure Hilfe.
>
> Daniel
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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danke erstmal,
[mm] F_{1} [/mm] ist die Grundfläche (Kreis in x , y Ebene auf "höhe" [mm] z=\wurzel{2})oder [/mm] täusche ich mich da?
Kann mit da jemand eine Vorgehensweise an die Hand geben, wie ich Flächen und Kurven Parametrisiere.
[mm] \wurzel{2}cost [/mm] , [mm] \wurzel{2}sint [/mm] , [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] 0\le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] wird wohl kaum richtig oder zielführend sein.
Freue mich auf eure Antworten
Daniel
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Hallo schlimmer_finger,
> danke erstmal,
>
> [mm]F_{1}[/mm] ist die Grundfläche (Kreis in x , y Ebene auf "höhe"
> [mm]z=\wurzel{2})oder[/mm] täusche ich mich da?
Das ist richtig.
>
> Kann mit da jemand eine Vorgehensweise an die Hand geben,
> wie ich Flächen und Kurven Parametrisiere.
>
> [mm]\wurzel{2}cost[/mm] , [mm]\wurzel{2}sint[/mm] , [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]0\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm] wird wohl kaum richtig oder zielführend
> sein.
Das ist jetzt die berandete Fläche [mm]F_{2}[/mm].
Nun, da [mm]x^{2}+y^{2}\le 2[/mm] ist, läuft demnach z von 0 bis [mm]\wurzel{2}[/mm]
Daher lautet die Parametrisierung des Kreiskegels:
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{r*\cos\left(t\right) \\ r*\sin\left(t\right) \\ r}, \ 0 \le r \le \wurzel{2}, 0 \le t \le 2\pi[/mm]
>
> Freue mich auf eure Antworten
>
> Daniel
Gruss
MathePower
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Danke für deine Antwort
wie würde sich der Normalenvektor berechnen?
n = [mm] \bruch{grad F}{|gradF|}
[/mm]
mit welchem einheitsvektor muss dann das skalare Flächenelement dF berechnet werden?
Würde das Integral so aussehen?
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel{2}}{\underline{F} * \underline{n} * \bruch{1}{\underline{n}*e }drdt }
[/mm]
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Hallo schlimmer_finger,
> Danke für deine Antwort
>
> wie würde sich der Normalenvektor berechnen?
Da wir jetzt den Kreiskegel parametrisiert haben,
ergibt sich der Normalenvektor zu
[mm]\bruch{\partial}{\partial r}\pmat{r*\cos\left(t\right) \\ r*\sin\left(t\right) \\ r} \times \bruch{\partial}{\partial t}\pmat{r*\cos\left(t\right) \\ r*\sin\left(t\right) \\ r}[/mm]
>
> n = [mm]\bruch{grad F}{|gradF|}[/mm]
>
> mit welchem einheitsvektor muss dann das skalare
> Flächenelement dF berechnet werden?
>
> Würde das Integral so aussehen?
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel{2}}{\underline{F} * \underline{n} * \bruch{1}{\underline{n}*e }drdt }[/mm]
>
Das Integral, das zu berechnen ist, ist folgendes:
[mm]\integral_{\mathcal{F}}^{}{ \operatorname{rot} F * \overrightarrow{n_{0}} \ d\sigma} [/mm]
,wobei [mm]\operatorname{rot} F[/mm] die Rotation des Vektorfeldes F
und [mm]\overrightarrow{n_{0}} \ d\sigma =\bruch{\partial}{\partial r}\pmat{r*\cos\left(t\right) \\ r*\sin\left(t\right) \\ r} \times \bruch{\partial}{\partial t}\pmat{r*\cos\left(t\right) \\ r*\sin\left(t\right) \\ r} \ dr \ dt[/mm]
bedeuten.
Gruss
MathePower
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Die Rotation des Vektorfeldes ist [mm] \underline{0} [/mm] , dann hat sich das Integral eh erledigt.
Bis auf die Parametrisierung kann ich soweit Folgen.
Gibt es zur Parametrisierung Beiträge, die das etwas erklären und sich damit beschäftigen, die ich mir mal anschauen kann?
Vielen Dank für die Geduld und die Hilfe.
Grüße
Daniel
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> Berechnen sie den Fluss des Vektorfeldes F(x,y,z) =
> [mm](x^{2},y^{2},x^{2})[/mm] durch die Oberfläche des Kreiskegels,
> der durch die Flächen [mm]F_{1}=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \le2 , z=\wurzel{x^{2}+y^{2}}\}[/mm]
> und [mm]F_{2}=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \le2 , (x,y,\wurzel{2})\}[/mm]
> berandet wird.
>
> ich scheitere leider schon ganz zu Beginn der Aufgabe, ich
> verstehe nicht wie die beiden Flächen im Raum liegen und
> aussehen.
[mm] F_1 [/mm] ist eine nach oben geöffnete Drehkegelfläche mit der
Spitze im Punkt O(0/0/0), die z-Achse ist Rotationsachse,
und der halbe Öffnungswinkel beträgt 45°.
Man kann die Gleichung von [mm] F_1 [/mm] auch in der Form z=r
schreiben (Zylinderkoordinaten).
Mit [mm] F_2 [/mm] ist wohl der kreisscheibenförmige Ausschnitt der
Hauptebene [mm] z=\wurzel{2} [/mm] gemeint, welcher die "Grund-
fläche" des Kegels mit der Mantelfläche [mm] F_1 [/mm] bildet.
> Das nächste Problem ist, wie ermittle ich aus den Flächen
> meine Integrationsgrenzen und das dritte Problem lautet,
> wie gehe ich bei solch einer Aufgabenstellung sinnvoll vor?
> Über ein Oberflächenintegral oder besser mit dem Gauß?
Ich würde es eher mit Gauß versuchen und Zylinderkoordi-
naten verwenden. Das erspart einem die Berechnung der
Normalenvektoren zur Kegelfläche [mm] F_1 [/mm] , was zwar auch kein
Hexenwerk sein sollte.
In Zylinderkoordinaten deckt man das Kegelvolumen ab,
indem man die Integration so anordnet:
[mm] $\integral_{z=0}^{z_{max}}\ \integral_{r=0}^{z}\ \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\ [/mm] .......\ r\ [mm] d\varphi\,dr\,dz$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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Danke für deine Antwort,
ich habe mit der Parametrisierung immer etwas Probleme, wie gehe ich bei solch einer Parametrisierung vor?
Danke für die Hilfe.
Grüße Daniel
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> Danke für deine Antwort,
>
> ich habe mit der Parametrisierung immer etwas Probleme, wie
> gehe ich bei solch einer Parametrisierung vor?
>
> Danke für die Hilfe.
> Grüße Daniel
Der Integrand für das vorliegende Dreifachintegral ist
$\ [mm] div\, \vec{F} [/mm] =2x+2y$
Gesucht ist also
$\ [mm] 2*\underset{Kegelvolumen}{\integral\ \integral\ \integral}\ [/mm] (x+y)\ dx\ dy\ dz $
$\ =\ 2* [mm] \integral_{z=0}^{\sqrt{2}}\integral_{r=0}^{z}\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\ (r*cos(\varphi)+r*sin(\varphi))\ [/mm] r\ [mm] d\varphi\,dr\,dz [/mm] $
$\ =\ 2* [mm] \integral_{z=0}^{\sqrt{2}}\integral_{r=0}^{z}r^2\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\ (cos(\varphi)+sin(\varphi))\ d\varphi\,dr\,dz [/mm] $
Dies ist leicht zu berechnen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Do 18.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hier schicke ich Dir mal die zugehörigen Abbildungen:
F1:
[Dateianhang nicht öffentlich]
F2:
[Dateianhang nicht öffentlich]
F1 und F2:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Denny
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Parameterdarstllung