Fluss eines Vektorfeldes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
Ich häng hier an einer Aufgabe:
Gegeben sei der Körper
[mm] E=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^{3}| \mbox{x^{2}+y^{2}+2z^{2}\le1 \wedge z\ge0}\}
[/mm]
Man berechne den Fluss des Vektorfeldes [mm] f(x,y,z)=(1-y,1+x,z^{2})^{T} [/mm] durch die beiden glatten Teilflächen, die E beranden.
Mein Problem ist , dass ich die Parametrisierung der beiden Teilflächen nicht verstehe! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Bei dem Körper E soll es sich um die obere Hälfte eines Rotationsellipsoiden handeln. Woran kann ich das denn erkennen? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Dachfläche [mm] F_{1} [/mm] wird parametrisiert durch:
[mm] p:[0,2\pi]\times[0,\bruch{\pi}{2}]\to\IR^{3} [/mm] mit [mm] p(\phi,\gamma)=\vektor{cos\phi*cos\gamma \\ sin\phi*cos\gamma \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}*sin\gamma}
[/mm]
Die Dachfläche [mm] F_{2} [/mm] wird parametrisiert durch:
[mm] p:[0,1]\times[0,2\pi]\to\IR^{3} [/mm] mit [mm] p(r,\phi)=\vektor{r*cos\phi \\ r*sin\phi \\ 0}
[/mm]
Ich habe echt keine Idee wie man auf die Parametrisierung kommt!!!
Den Rest sollte ich eigentlich alleine schaffen. Hoffe ich zumindest.
Es wäre echt nett , wenn mir jemand die Parametrisierung erklären könnte.
Vielen Dank für eure Antworten
Gruß Fabian
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Hallo Fabian,
> [mm]E=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^{3}| \mbox{x^{2}+y^{2}+2z^{2}\le1 \wedge z\ge0}\}[/mm]
>
> Man berechne den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]f(x,y,z)=(1-y,1+x,z^{2})^{T}[/mm] durch die beiden glatten
> Teilflächen, die E beranden.
>
> Mein Problem ist , dass ich die Parametrisierung der beiden
> Teilflächen nicht verstehe!
>
> Bei dem Körper E soll es sich um die obere Hälfte eines
> Rotationsellipsoiden handeln. Woran kann ich das denn
> erkennen?
ein Rotationsellipsoid hat immer zwei gleiche Achsen.
Und da [mm]z\; \geqslant \;0[/mm] ist es die obere Hälfte.
Die allgemeine Gleichung eines Ellipsoids lautet:
[mm]\frac{{x^{2} }}
{{a^{2} }}\; + \;\frac{{y^{2} }}
{{b^{2} }}\; + \;\frac{{z^{2} }}
{{c^{2} }}\; = \;\;1[/mm]
Sind hier alle 3 Achsen gleich, so handelt es sich um eine Kugel.
Bei 2 gleichen Achsen handelt es sich, wie schon erwähnt, um ein Rotationsellipsoid.
>
> Die Dachfläche [mm]F_{1}[/mm] wird parametrisiert durch:
>
> [mm]p:[0,2\pi]\times[0,\bruch{\pi}{2}]\to\IR^{3}[/mm] mit
> [mm]p(\phi,\gamma)=\vektor{cos\phi*cos\gamma \\ sin\phi*cos\gamma \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}*sin\gamma}[/mm]
>
> Die Dachfläche [mm]F_{2}[/mm] wird parametrisiert durch:
>
> [mm]p:[0,1]\times[0,2\pi]\to\IR^{3}[/mm] mit
> [mm]p(r,\phi)=\vektor{r*cos\phi \\ r*sin\phi \\ 0}[/mm]
>
> Ich habe echt keine Idee wie man auf die Parametrisierung
> kommt!!!
>
Wende hier den Pythagoras zweimal an.
Schreiben wir die obige Gleichung mal anders:
[mm]\left( {\frac{{x^{2} }}
{{a^{2} }}\; + \;\frac{{y^{2} }}
{{b^{2} }}} \right)\; + \;\frac{{z^{2} }}
{{c^{2} }}\; = \;\;1[/mm]
Dies Gleichung wird genau dann erfüllt, wenn:
[mm]\cos ^{2} \;\gamma \; + \;\sin ^{2} \;\gamma \; = \;1[/mm]
Demzufolge gilt also:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{{x^{2} }}
{{a^{2} }}\; + \;\frac{{y^{2} }}
{{b^{2} }}\; = \;\cos ^{2} \;\gamma \hfill \\
\frac{{z^{2} }}
{{c^{2} }}\; = \;\sin ^{2} \;\gamma \; \Rightarrow \;z\; = \;c\;\sin \;\gamma \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die Gleichung [mm]\frac{{x^{2} }}
{{a^{2} }}\; + \;\frac{{y^{2} }}
{{b^{2} }}\; = \;\cos ^{2} \;\gamma [/mm] stellt die Gleichung einer Ellipse das. Dies Gleichung wird nur erfüllt, wenn
[mm]\cos ^{2} \;\gamma \;\left( {\cos ^{2} \;\phi \; + \;\sin ^{2} \;\phi } \right)\; = \;\cos ^{2} \;\gamma [/mm]
Demzufolge gilt:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{x^{2} }}
{{a^{2} }}\; = \;\cos ^{2} \;\gamma \;\cos ^{2} \;\phi \; \Rightarrow \;x\; = a\;\cos \;\gamma \;\cos \;\phi \hfill \\
\frac{{y^{2} }}
{{b^{2} }}\; = \;\cos ^{2} \;\gamma \;\sin ^{2} \;\phi \; \Rightarrow \;y\; = b\;\cos \;\gamma \;\sin \;\phi \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Mache Dir das am besten anhand einer räumlichen Skizze klar.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo mathepower,
Vielen Dank für deine Antwort und deine Mühe! Das hast du echt gut erklärt! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Hab alles gleich verstanden!
Viele Grüße
Fabian
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