Fluss eines Vektorfeldes < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Di 31.01.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Es sei [mm] F\subset [/mm] R3 eine glatte Fläche, deren Rand die Kreislinie in der x-y-
Ebene ist mit der Gleichung [mm] x^2+y^2=4. [/mm] Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes
[mm] \vec{f} [/mm] mit [mm] \vec{f}(x;y;z)=(xz;-yz;x^2)^T [/mm] durch F.
Lösung: [mm] 4\pi [/mm] |
Mein Lösung:
[mm] \vec{n}=\vec{e_3}
[/mm]
[mm] x=r*\cos(\phi)
[/mm]
[mm] dS=rd(r,\phi)
[/mm]
[mm] 0\le\phi\le 2\pi
[/mm]
[mm] 0\le r\le2 [/mm]
[mm] \vec{f}\vec{n}=\vektor{xz\\-yz\\x^2}*\vektor{0\\0\\1}=x^2=r^2\cos^2(\phi)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}\vec{n}dS}}=\integral_{0}^{2}{r^3\integral_{0}^{2\pi}{\cos^2(\phi)}}=\pi\integral_{0}^{2}{r^3}=4\pi
[/mm]
Ich brauche Hilfe, ich weiß nicht, warum es falsch ist.
EinenFehler habe ich gefunden, und zwar ist der Radius max. 2 und nicht 1.
Ich glaube der zweite Fehler lag bei den Einheitsvektor, wie kann ich hier hunterscheiden ob ich -e oder e nehme?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mi 01.02.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Es sei [mm]F\subset[/mm] R3 eine glatte Fläche, deren Rand die
> Kreislinie in der x-y-
> Ebene ist mit der Gleichung [mm]x^2+y^2=4.[/mm] Berechnen Sie den
> Fluss des Vektorfeldes
> [mm]\vec{f}[/mm] mit [mm]\vec{f}(x;y;z)=(xz;-yz;x^2)^T[/mm] durch F.
>
> Lösung: [mm]4\pi[/mm]
>
>
>
>
>
>
>
> Mein Lösung:
>
> [mm]\vec{n}=-\vec{e_3}[/mm]
wieso 'minus'?
>
> [mm]x=r*\cos(\phi)[/mm]
>
> [mm]dS=rd(r,\phi)[/mm]
>
> [mm]0\le\phi\le 2\pi[/mm]
>
> [mm]0\le r\le2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\vec{f}\vec{n}=\vektor{xz\\-yz\\x^2}*\vektor{0\\0\\-1}=-x^2=-r^2\cos^2(\phi)[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}\vec{n}dS}}=-\integral_{0}^{2}{r^2\integral_{0}^{2\pi}{\cos^2(\phi)}}=-\pi\integral_{0}^{2}{r^3}=-4\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also ich komme ich (mit positivem $\vec{e}_3$) auf:
$\vec{f}\vec{n}dS}=r^3\cos^2\varphi$
>
> Ich brauche Hilfe, ich weiß nicht, warum es falsch ist.
> EinenFehler habe ich gefunden, und zwar ist der Radius
> max. 2 und nicht 1.
Aber genau so hast Du es doch auch da stehen.
>
> Ich glaube der zweite Fehler liegt bei den Einheitsvektor,
> wie kann ich hier hunterscheiden ob ich -e oder e nehme?
Wie bist Du denn auf die Idee gekommen, das negativ zu wählen? Im Allgemeinen macht man es doch einfach mal positiv, es sei denn irgendwas spricht dagegen.
Du könntest die Fläche auch parametrisieren und dann durch ein Kreuzprodukt das vektorielle Oberflächenelement berechnen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mi 01.02.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | [mm] (r\cos\phi;r\sin\phi;r^2)^T [/mm] wäre dann die Parameterdarstellung oder? |
und dann müsse man für [mm] \vec{n}=\bruch{dQ}{dr}\times\bruch{dQ}{d\phi} [/mm] berechnen?
Und dann wie gewonnt von Beiden das Oberflächenintegral?
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Hallo gotoxy86,
> [mm](r\cos\phi;r\sin\phi;r^2)^T[/mm] wäre dann die
> Parameterdarstellung oder?
Nein, die letzte Komponente ist konstant.
Demnach: [mm](r\cos\phi;r\sin\phi;\red{z})^T[/mm]
> und dann müsse man für
> [mm]\vec{n}=\bruch{dQ}{dr}\times\bruch{dQ}{d\phi}[/mm] berechnen?
>
Ja.
>
> Und dann wie gewonnt von Beiden das Oberflächenintegral?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mi 01.02.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
Danke, das hat mich weiter gebracht.
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