Fluss eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Di 10.12.2013 | | Autor: | mathemak |
| Aufgabe | Paraboloid: [mm] $(x,y,z)^T \in \R^3$ [/mm] mit [mm] $9\,x^2 [/mm] + [mm] 9\,y^2 \le [/mm] z, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2$
Vektorfeld [mm] $(2\,xy, 2\,yz [/mm] - [mm] y^2, 2\,z^2)^T$
[/mm]
Gesucht ist der Fluss von F durch die Oberfläche des geschlossenen Paraboloids (mit Deckel) |
Gesucht ist der Fluss von F durch die Oberfläche des geschlossenen Paraboloids (mit Deckel)
Meine Ansätze:
[mm] $\iint_{(A)} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\,A [/mm] = [mm] \iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,\mathrm{d}\,V$. [/mm]
[mm] $\mathrm{div}\,\vec{F} [/mm] = [mm] 2\,y [/mm] + [mm] 2\,z [/mm] - [mm] 2\,y [/mm] + [mm] 4\,z [/mm] = [mm] 6\,z$.
[/mm]
Für den Paraboloid:
$x = [mm] \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\cos(\phi)$
[/mm]
[mm] $y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}$\cos(\phi)$
[/mm]
$z=z$
mit $ [mm] \phi \in [/mm] [0;2]$ und $z [mm] \in [/mm] [0;2]$
habe ich
[mm] $\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{V} \,\mathrm{d}\,V [/mm] = [mm] 6\,\int_{\phi 0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}} \int_{z=0}^2 (z\,r) \mathrm{d}\,z \mathrm{d}\,r\,\mathrm{d}\,\phi [/mm] = [mm] \frac{8}{3}\pi$. [/mm]
Mein Lehramtsstudium liegt nun schon viele Jahre zurück, auch Ana III war ich drin - dennoch wäre ich da für einen Tipp oder eine Korrektur ganz dankbar. Nein, sowas machen wir nicht in der Schule. Es hat mich nur jemand gefragt. Maple hat mir da auch nicht weitergeholfen, da 0 herauskommt.
Danke!
mathemak
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Guten Tag mathemak
> Paraboloid: [mm](x,y,z)^T \in \IR^3[/mm] mit [mm]9\,x^2 + 9\,y^2 \le z, 0 \le z \le 2[/mm]
>
> Vektorfeld [mm](2\,xy, 2\,yz - y^2, 2\,z^2)^T[/mm]
> Gesucht ist der
> Fluss von F durch die Oberfläche des geschlossenen
> Paraboloids (mit Deckel)
> Gesucht ist der Fluss von F durch die Oberfläche des
> geschlossenen Paraboloids (mit Deckel)
>
> Meine Ansätze:
>
> [mm]\iint_{(A)} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\,A = \iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,\mathrm{d}\,V[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\mathrm{div}\,\vec{F} = 2\,y + 2\,z - 2\,y + 4\,z = 6\,z[/mm].
>
> Für den Paraboloid:
(es heißt: das Paraboloid)
> [mm]x = \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\cos(\phi)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> [mm]y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}$\cos(\phi)[/mm]
Hier solltest du besser schon die Zylinderkoordinaten
betrachten: In der Querschnittsfläche auf dem Niveau z
(mit [mm] 0\le{z}\le2 [/mm] ) gilt für $\ [mm] r=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] die Ungleichung $\ [mm] 0\le{r}\le [/mm] R(z)$ ,
wobei [mm] R(z)=\frac{\sqrt{z}}{3}$
[/mm]
> [mm]z=z[/mm]
>
> mit [mm]\phi \in [0;2][/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du meinst: [mm] $\phi\in [\,0\, ;\, 2\,\pi\,] [/mm]
> und [mm]z \in [0;2][/mm]
>
> habe ich
>
> [mm]\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{V} \,\mathrm{d}\,V = 6\,\int_{\phi 0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}} \int_{z=0}^2 (z\,r) \mathrm{d}\,z \mathrm{d}\,r\,\mathrm{d}\,\phi = \frac{8}{3}\pi[/mm].
Hier benützt du eine falsche Integrationsreihenfolge bzw.
falsche Grenzen !
Richtig wäre z.B.
[mm] $\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{z\,=\,0}^2\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{z}} z*r\ \ d \,r\ d\,z\ d\,\phi}} [/mm] $
Wenn du deine Integrationsreihenfolge beibehalten
möchtest, wäre es:
[mm] $\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}}\ \integral_{z\,=\,9\,r^2}^{2} z*r\ \ d \,z\ d\,r\ d\,\phi}} [/mm] $
LG, Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 11.12.2013 | | Autor: | mathemak |
Hallo Al-Chwarizmi!
Danke für die Unterstützung!
> >
> > [mm]\iint_{(A)} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\,A = \iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,\mathrm{d}\,V[/mm].
>
> >
> > [mm]\mathrm{div}\,\vec{F} = 2\,y + 2\,z - 2\,y + 4\,z = 6\,z[/mm].
>
> >
> > Für den Paraboloid:
>
> (es heißt: das Paraboloid)
>
> > [mm]x = \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\cos(\phi)[/mm]
$x = [mm] \frac{1}{3}\,\sqrt{z}\,\cos(\phi)$
[/mm]
und natürlich mit [mm] $\sin$ [/mm] (cut & paste)
[mm] $y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}\,\sin(\phi)$
[/mm]
$z=z$
ergibt auch das Paraboloid. Natürlich mit [mm] $\phi \in [0;2\pi]$. [/mm] War wohl doch zu spät.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > [mm]y=\frac{1}{3}\,\sqrt{z}$\cos(\phi)[/mm]
>
> Hier solltest du besser schon die Zylinderkoordinaten
> betrachten: In der Querschnittsfläche auf dem Niveau z
> (mit [mm]0\le{z}\le2[/mm] ) gilt für [mm]\ r=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] die
> Ungleichung [mm]\ 0\le{r}\le R(z)[/mm] ,
> wobei [mm]R(z)=\frac{\sqrt{z}}{3}$[/mm]
Ok.
>
> > [mm]z=z[/mm]
> >
> > mit [mm]\phi \in [0;2][/mm]
>
> du meinst: [mm]$\phi\in [\,0\, ;\, 2\,\pi\,][/mm]
>
> > und [mm]z \in [0;2][/mm]
> >
> > habe ich
> >
> > [mm]\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{V} \,\mathrm{d}\,V = 6\,\int_{\phi 0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}} \int_{z=0}^2 (z\,r) \mathrm{d}\,z \mathrm{d}\,r\,\mathrm{d}\,\phi = \frac{8}{3}\pi[/mm].
>
>
> Hier benützt du eine falsche Integrationsreihenfolge bzw.
> falsche Grenzen !
Ja, stimmt.
>
> Richtig wäre z.B.
>
> [mm]\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{z\,=\,0}^2\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{z}} z*r\ \ d \,r\ d\,z\ d\,\phi}}[/mm]
>
> Wenn du deine Integrationsreihenfolge beibehalten
> möchtest, wäre es:
>
> [mm]\mbox{\Large{\iiint_{(V)} \mathrm{div} \vec{F} \,d\,V\ =\ 6\,\integral_{\phi\,=\, 0}^{2\pi}\ \integral_{r\,=\,0}^{\frac{1}{3}\,\sqrt{2}}\ \integral_{z\,=\,9\,r^2}^{2} z*r\ \ d \,z\ d\,r\ d\,\phi}}[/mm]
Danke!
mathemak
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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