Flussintegral v. Kreisring < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Di 08.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Seien 0 <a < b und sei
[mm] D={(x,y)\in\IR^2 | a^2 \le x^2+y^2 \le b^2}
[/mm]
der Kreisring mit innerem Radius a und äußerem Radius b.
Für das Vektorfeld f: [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] mit f(x,y)=(x,0)
berechne man das Flussintegral
[mm] \integral_{\partial D}{}{< f | n_{\partial D} > |ds|}
[/mm]
einmal direkt und einmal mit Hilfe des Satzes von Gauß |
Die Divergenz ist hier ja div(f)=1.
Nun muss ich ja (nach Gauß) das Integral
[mm] \integral_{D}^{}{div(f) d(x,y)} [/mm] lösen.
wie setze ich bei den Integralen denn nun die Grenzen für die Kreisscheibe ?
Ich dachte mir in etwa so etwas:
[mm] \integral_{a^2}^{b^2}\integral_{0}^{b}{1 dxdy}
[/mm]
aber dann habe ich ja die Kreisfunktion [mm] x^2+y^2 [/mm] nirgendwo untergebracht. Das kann demnach nicht stimmen ?
LG
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Hallo bammbamm,
> Seien 0 <a < b und sei
> [mm]D={(x,y)\in\IR^2 | a^2 \le x^2+y^2 \le b^2}[/mm]
> der Kreisring
> mit innerem Radius a und äußerem Radius b.
>
> Für das Vektorfeld f: [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm] mit f(x,y)=(x,0)
> berechne man das Flussintegral
> [mm]\integral_{\partial D}{}{< f | n_{\partial D} > |ds|}[/mm]
>
> einmal direkt und einmal mit Hilfe des Satzes von Gauß
> Die Divergenz ist hier ja div(f)=1.
>
> Nun muss ich ja (nach Gauß) das Integral
>
> [mm]\integral_{D}^{}{div(f) d(x,y)}[/mm] lösen.
>
> wie setze ich bei den Integralen denn nun die Grenzen für
> die Kreisscheibe ?
>
> Ich dachte mir in etwa so etwas:
> [mm]\integral_{a^2}^{b^2}\integral_{0}^{b}{1 dxdy}[/mm]
>
> aber dann habe ich ja die Kreisfunktion [mm]x^2+y^2[/mm] nirgendwo
> untergebracht. Das kann demnach nicht stimmen ?
>
Ja, da hast Du recht.
Um das Integral über dieses Gebiet zu berechnen, empfiehlt sich
das Integral über den inneren Kreis vom Integral des äußeren Kreises
zu subtrahieren.
Die Grenzen dieser Kreise ergeben sich aus den entsprechen Kreisgleichungen.
Führst Du Polarkoordinaten, so ist nur ein einziges Integral zu berechnen.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 08.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Ja, da hast Du recht.
>
> Um das Integral über dieses Gebiet zu berechnen, empfiehlt
> sich
> das Integral über den inneren Kreis vom Integral des
> äußeren Kreises
> zu subtrahieren.
>
> Die Grenzen dieser Kreise ergeben sich aus den entsprechen
> Kreisgleichungen.
>
Wie würde dann das Integral aussehen ?
[mm] \integral_{x^2+y^2}^{a^2}\integral_{x^2+y^2}^{b^2}{1 dxdy} [/mm] ?
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Hallo bammbamm,
> > Ja, da hast Du recht.
> >
> > Um das Integral über dieses Gebiet zu berechnen, empfiehlt
> > sich
> > das Integral über den inneren Kreis vom Integral des
> > äußeren Kreises
> > zu subtrahieren.
>
>
>
> >
> > Die Grenzen dieser Kreise ergeben sich aus den entsprechen
> > Kreisgleichungen.
> >
>
> Wie würde dann das Integral aussehen ?
>
> [mm]\integral_{x^2+y^2}^{a^2}\integral_{x^2+y^2}^{b^2}{1 dxdy}[/mm]
> ?
Aus der Kreisgleichung [mm]x^{2}+y^{2}=r^{2}[/mm] folgt doch zunächst:
[mm]x=\pm\wurzel{r^{2}-y^{2}}[/mm]
Weiterhin folgt aus der Kenntnis, daß der Ausdruck
unter der Wurzel nicht negativ sein darf: [mm]y=\pm r[/mm]
Damit lautet das zu berechnende Integral
[mm]\integral_{\blue{-r}}^{\blue{r}}\integral_{\blue{-\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}^{\blue{+\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}{1 \ dx \ dy}[/mm]
Das kannst Du jetzt so berechen,
oder Du führst Polarkoordinaten ein,
dann wird die Rechnung einfacher.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mi 09.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Damit lautet das zu berechnende Integral
>
> [mm]\integral_{\blue{-r}}^{\blue{r}}\integral_{\blue{-\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}^{\blue{+\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}{1 \ dx \ dy}[/mm]
>
> Das kannst Du jetzt so berechen,
Und die Grenzen für die Kreisscheibe setze ich so:
[mm] \integral_{-a^2}^{a^2}\integral_{-\wurzel{b^2-y^2}}^{\wurzel{b^2-y^2}}{1 dxdy} [/mm] ?
Stimmt das so ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, lies bitte genau, was du machen musst, wenn du über Kreisscheiben integrirst. Warum nimmst du den Tip mit Polarkiirdinaten nicht auf, oder erwähnst in wenigstens?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 09.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo
> Nein, lies bitte genau, was du machen musst, wenn du über
> Kreisscheiben integrirst. Warum nimmst du den Tip mit
> Polarkiirdinaten nicht auf, oder erwähnst in wenigstens?
> Gruss leduart
>
Hallo,
den Tipp mit Polarkoordinaten nehme ich nicht auf, da ich diese Aufgabe nicht mit Polarkoordinaten berechnen soll, sondern normal über zwei Integrale.
Ich habe es mir durchgelesen. Da ich hier aber zwei Radien r habe, nämlich a und b welche jeweils den äußeren und inneren Rand der Kreisscheibe festlegen, muss ich ja die Grenzen am Integral dementsprechend setzen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies nochmal die erste Antwort, die du gekriegt hast genau.
und in Polarkoordinaten hast du auch ein Doppelintegral, nur eben einfacher.
Dass dein Integral nicht über nen ring geht, solltest du sehen.
über Kreisgebiete mit kart. KO zu integrieren, ist wie wenn du statt 10*5 5+5+5..+5 rechnest. um das Integral zu lösen brauchst du dann doch Kreisfkt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 09.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo
> lies nochmal die erste Antwort, die du gekriegt hast
> genau.
> und in Polarkoordinaten hast du auch ein Doppelintegral,
> nur eben einfacher.
> Dass dein Integral nicht über nen ring geht, solltest du
> sehen.
> über Kreisgebiete mit kart. KO zu integrieren, ist wie
> wenn du statt 10*5 5+5+5..+5 rechnest. um das Integral zu
> lösen brauchst du dann doch Kreisfkt!
> Gruss leduart
>
Hallo
ist es also für ein kartesisches Koordinatensystem so:
[mm] (\integral_{{-b^2}}^{b^2}\integral_{-\wurzel{b^{2}-y^{2}}}^{\wurzel{b^{2}-y^{2}}}{1 \ dx \ dy})-(\integral_{{-a^2}}^{a^2}\integral_{-\wurzel{a^{2}-y^{2}}}^{\wurzel{a^{2}-y^{2}}}{1 \ dx \ dy})
[/mm]
?
Wähle ich bei den Integralen über y (also den jeweils außen stehenden Integralen) [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] als Grenzen wegen [mm] a^2 \le x^2+y^2 \le b^2, [/mm] oder doch nur a und b aufgrund 0 < a < b? (s. Aufgabenstellung)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) die antwort stand im ersten post!! hier kopiert.
und von wo bis wo y läuft bei der ungleichung kann man eigentlich auch selbst rauskriegen!
$ [mm] \integral_{\blue{-r}}^{\blue{r}}\integral_{\blue{-\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}^{\blue{+\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}{1 \ dx \ dy} [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mi 09.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo
> a) die antwort stand im ersten post!! hier kopiert.
> und von wo bis wo y läuft bei der ungleichung kann man
> eigentlich auch selbst rauskriegen!
>
> [mm]\integral_{\blue{-r}}^{\blue{r}}\integral_{\blue{-\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}^{\blue{+\wurzel{r^{2}-y^{2}}}}{1 \ dx \ dy}[/mm]
>
> Gruss leduart
Genau nach dieser Antwort habe ich ja auch bereits mein Integral aufgestellt.
y läuft einmal von -b bis b und einmal von -a bis a. Das sind also meine Radien r die ich bei den Grenzen der Integrale einsetze. Da ich ja nun aber eine Kreisscheibe habe und demnach die Fläche des "Lochs" in der Mitte der Kreisscheibe von dem Gesamten abziehen muss um die Fläche der Kreisscheibe zu erhalten, muss mein Integral so aussehen:
[mm] (\integral_{{-b}}^{b}\integral_{-\wurzel{b^{2}-y^{2}}}^{\wurzel{b^{2}-y^{2}}}{1 \ dx \ dy})-(\integral_{{-a}}^{a}\integral_{-\wurzel{a^{2}-y^{2}}}^{\wurzel{a^{2}-y^{2}}}{1 \ dx \ dy}) [/mm]
Stimmt das so ?!
Ich weis nicht ob das deutlich rüberkam, aber ich möchte hier ein FLUSSintegral lösen, nur nochmal zur Verdeutlichung, da ich langsam das Gefühl bekomme, es wird hier ein normales Flächenintegral betrachtet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
im post davor hattest du nach Grenzen a oder [mm] a^2 [/mm] gefragt.
keineswegs dich nach der anweisung gerichtet! Zitat
"$ [mm] (\integral_{{-b^2}}^{b^2}\integral_{-\wurzel{b^{2}-y^{2}}}^{\wurzel{b^{2}-y^{2}}}{1 \ dx \ dy})-(\integral_{{-a^2}}^{a^2}\integral_{-\wurzel{a^{2}-y^{2}}}^{\wurzel{a^{2}-y^{2}}}{1 \ dx \ dy}) [/mm] $
richtig ?"
jetz ist dein Flächenintegral über die div(f) richtig, das wolltest du doch bisher.
nun musst du den Fluß durch den Rand laut Aufgabe noch direkt ausrechnen! ohne Gauss zu benutzen.
also $ [mm] \integral_{\partial D}{}{< f | n_{\partial D} > |ds|} [/mm] $
gruss leduart
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Mein Ergebnis wäre dann [mm] b*|b|*\pi-a*|a|*\pi.
[/mm]
Wie kann ich das ganze nun direkt ohne Gauß berechnen ? Einfach [mm] b^2*\pi [/mm] - [mm] a^2*\pi [/mm] (also Fläche große Scheibe minus Fläche des "Lochs"). Dann habe ich die Fläche direkt berechnet und das gleiche Ergebnis wie oben, allerdings habe ich jetzt die Fläche des Kreisrings, nicht den Fluss über den Rand ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 11.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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