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Hi,
ich habe die Folge [mm] $\bruch{3^n}{n!}$.
[/mm]
Ich kann zwar sagen, dass sie gegen 0 läuft d. h. dass sie eine Nullfolge ist, aber wie kann ich das auch zeigen?
n=1: [mm] $\bruch{3}{1}=3$
[/mm]
n=2: [mm] $\bruch{9}{2}=4,5$ [/mm] Bis hier macht die Folge den Eindruck als würde sie wachsen!
n=3: [mm] $\bruch{9}{2}=4,5$
[/mm]
n=4: [mm] $\bruch{27}{8}=3,375$
[/mm]
n=5: [mm] $\bruch{81}{40}=2,025$
[/mm]
Wie kann ich das jetzt noch "zeigen", dass die Folge eine Nullfolge ist? Die Fakultät wächst doch ab einem gewinnen "Grad" stärker als Potzenzen.
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Do 24.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Das funktioniert doch fast genauso wie bei dieser Aufgabe von neulich ...
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
so ich bin jetzt mal dazu gekommen, die Aufgabe zu rechnen.
[mm] $a_n =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{\overbrace{3*3*3*3*3* ... *3}^{n-mal}}{\underbrace{1*2*3*4*5* ... *n}_{n-mal}}=\bruch{3}{1}*\bruch{3}{2}*\bruch{3}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{3}{5}* [/mm] ... [mm] *\bruch{3}{n}$
[/mm]
[mm] $=3*1,5*1*\bruch{3}{4}*\bruch{3}{5}*...*\bruch{3}{n}=4,5*\bruch{3}{4}*\bruch{3}{5}*...*\bruch{3}{n}=4,5*\red{\bruch{3}{4}*\bruch{3}{5}*...*\bruch{3}{n}}=\blue{0}$
[/mm]
Alle Folgenglieder (wenn man die Brüche aufspaltet) sind < 1, deshalb wird bei einer "unendlichen" Fortsetzung der Reihe, die Glieder immer immer kleiner. Da die Brüche miteinander multipliziert werden, geht diese Folge gegen 0 --> Es handelt sich um eine Nullfolge
Geht so eine Begründung?
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Ich denke schon, dass man derart argumentieren kann. Aber auch hier würde ich mittels  Grenzwertsatz (siehe hier) begründen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Sa 26.05.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hallo Thomas!
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> Ich denke schon, dass man derart argumentieren kann. Aber
> auch hier würde ich mittels Grenzwertsatz (siehe
> hier) begründen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hi Loddar,
danke! Jetzt hab ich das verstanden [mm] $\bruch{3}{n}$ [/mm] ist auch eine Nullfolge. Also ich beziehe mich in meiner Begründung auf das "letzte" Glied und kann dann sagen, da dies eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert der Folge 0.
Danke
Grüße Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
> Also ich beziehe mich in meiner Begründung auf das "letzte" Glied
> und kann dann sagen, da dies eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert
> der Folge 0.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Im Zusammenhang damit, dass alle anderen Faktoren auch beschränkt sind.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Do 24.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Aber Du hast Dich auch bei den einzelnen Fakultäten verrechnet:
$1! \ = \ 1$
$2! \ = \ 2$
$3! \ = \ 6$
$4! \ = \ 24$
$5! \ = \ 120$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Do 24.05.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Loddar,
ich hatte bei meinen "Ergebnissen" die Entwerte angegeben, also ich hatte die ersten 2 so ausgerechnet, bei den anderen hatte ich die Folge so in den Taschenrechner eingegeben und jeweils die Potzenz als auch Fakultät um +1 erhöht und nur noch das Endergebnis gepostet.
> Hallo Thomas!
>
>
> Aber Du hast Dich auch bei den einzelnen Fakultäten
> verrechnet:
>
> [mm]1! \ = \ 1[/mm]
>
> [mm]2! \ = \ 2[/mm]
>
> [mm]3! \ = \ 6[/mm]
>
> [mm]4! \ = \ 24[/mm]
>
> [mm]5! \ = \ 120[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Do 24.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Da habe ich wohl nicht richtig gelesen ...
Gruß
Loddar
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