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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Do 06.11.2008 | | Autor: | soia |
| Aufgabe | | Für die Folge [mm] (x_{n})_{n} \in \IN [/mm] gebe es ein q mit 0 < q < 1 und ein [mm] n_{0}(q), [/mm] so dass für n > [mm] n_{0}(q) [/mm] gilt: [mm] |x_{n+1}| [/mm] < [mm] q|x_{n}|. [/mm] Zeige [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist Nullfolge |
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Hallo Matheraum.de
Ich verstehe die Aufgabe nicht so recht... :/
kann mir dabei irgendwie irgendwer weiter helfen ?
lg soia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also ich weiß nicht, ob ihr die Aufgabe mit der [mm] \epsilon-Definition [/mm] lösen sollt.
Würde die Aufgabe jedenfalls so lösen (ohne E-Def.)
Also die Folge hat ja als erstes Folgenglied [mm] x_{0}. [/mm] Entsprechend der Abschätzung gilt ja dann: [mm] |x_{1}|
[mm] |x_{2}|
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
[mm] \Rightarrow |x_{n}|
Wegen der Betragsstriche gilt: [mm] 0<|x_{n}|
Jetzt kann man die Grenzwerte für alle Ausdrücke berechnen:
des rechten Ausdrucks berechen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}0< \limes_{n\rightarrow\infty}|x_{n}|<\limes_{n\rightarrow\infty}q^n*|x_{0}|
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q^n*|x_{0}|=0, [/mm] da ja 0<q<1 [mm] (q^n [/mm] geometrische Folge!) und [mm] x_{0} [/mm] eine feste Zahl ist.
Da mit gilt:
0< [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|x_{n}|<0
[/mm]
Folglich ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|x_{n}|=0
[/mm]
Wenn die Folgenwerte nun nur aus [mm] \IN [/mm] kommen, dann sind die Betragsstriche egal und es gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0
[/mm]
Bin mir bei meinen Ausführungen aber nicht so sicher. Kann ja mal jemand anders kontrollieren.
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Fr 07.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> also ich weiß nicht, ob ihr die Aufgabe mit der
> [mm]\epsilon-Definition[/mm] lösen sollt.
> Würde die Aufgabe jedenfalls so lösen (ohne E-Def.)
>
> Also die Folge hat ja als erstes Folgenglied [mm]x_{0}.[/mm]
> Entsprechend der Abschätzung gilt ja dann:
> [mm]|x_{1}|
> [mm]|x_{2}|
> [mm]\Rightarrow[/mm] ...
> [mm]\Rightarrow |x_{n}|
> Wegen der Betragsstriche
> gilt: [mm]0<|x_{n}|
> Jetzt kann man die Grenzwerte für alle Ausdrücke
> berechnen:
> des rechten Ausdrucks berechen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}0< \limes_{n\rightarrow\infty}|x_{n}|<\limes_{n\rightarrow\infty}q^n*|x_{0}|[/mm]
>
Hier sollt beidemale [mm] "\le" [/mm] stehen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}q^n*|x_{0}|=0,[/mm] da ja 0<q<1 [mm](q^n[/mm]
> geometrische Folge!) und [mm]x_{0}[/mm] eine feste Zahl ist.
> Da mit gilt:
> 0< [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|x_{n}|<0[/mm]
Ebenso [mm] \le
[/mm]
FRED
> Folglich ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|x_{n}|=0[/mm]
>
> Wenn die Folgenwerte nun nur aus [mm]\IN[/mm] kommen, dann sind die
> Betragsstriche egal und es gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0[/mm]
>
> Bin mir bei meinen Ausführungen aber nicht so sicher. Kann
> ja mal jemand anders kontrollieren.
>
> Gruß
> Christian
>
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