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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Di 24.05.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo!
Ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabe, ich weiß einfach nicht wie ich damit vorgehen soll, da die Folge ansich nicht gegeben ist, sondern nur die Ergebnisse der Reihe. Es wäre super, wenn mir jemand dabei etwas helfen könnte, wie ich mit dieser Zahlenfolge vorgehen muss.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe lautet:
Es sei [mm] (x_{n}) [/mm] die Folge
[mm] \bruch{0}{1}, \bruch{1}{1}, \bruch{0}{2}, \bruch{1}{2}, \bruch{2}{2}, \bruch{1}{2}, \bruch{0}{3}, \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}, \bruch{3}{3}, \bruch{2}{3}, \bruch{1}{3}, \bruch{0}{4}, \bruch{1}{4}, \bruch{2}{4}, \bruch{3}{4}, \bruch{4}{4}, \bruch{3}{4}, \bruch{2}{4}, \bruch{1}{4}, \bruch{0}{5}, \bruch{1}{5}, [/mm] ...
Das heißt: [mm] x_{n} [/mm] pendelt ständig von 0 nach 1 und zurück, zuerst in Schritten von 1, dann in Schritten von [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] dann in Schritten von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] usw.
1. Skizzieren sie die Folge [mm] (x_{n}), [/mm] mit n auf der x-Achse und [mm] x_{n} [/mm] auf der y-Achse für n [mm] \le [/mm] 21.
Heißt das, ich muss für n einfach Zahlen von 0 - 21 auf die x-Achse schreiben? Und wie muss [mm] x_{n} [/mm] auf der y-Achse aussehen?
2. Finden Sie die streng monoton steigende Folge [mm] (n_{k}), [/mm] so dass [mm] (x_{n}_{k}) [/mm] die Teilfolge von [mm] (x_{n}) [/mm] ist, die aus allen Nullwerten von [mm] (x_{n}) [/mm] besteht.
Starthilfe: [mm] (n_{k}) [/mm] = 0, 2, 6, 12, 20, ...
3. Die Folge [mm] (m_{k}) [/mm] sei durch [mm] m_{k} [/mm] = [mm] n_{k} [/mm] + 1 definiert. Was ist die Teilfolge [mm] (x_{m}_{k})? [/mm] Hinweis: diese Teilfolge ist eine monoton fallende Nullfolge.
4. Beiweisen sie: [mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}| [/mm] konvergiert gegen 0.
Hier weiß ich nicht, wie ich das rechnen soll, ohne das die genaue Folge angegeben ist.
5. Beweisen sie: für jede rationale Zahl 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 gilt [mm] x_{n} [/mm] = x für unendlich viele n.
6. Beiweisen sie: jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] ist ein Häufungswert von [mm] (x_{n}). [/mm] Ist [mm] (x_{n}) [/mm] eine Cauchyfolge?
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir hierbei jemand helfen könnte, ich sitz schon länger dran, komm aber einfach nicht drauf, wie ich damit umgehen muss.
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 24.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Ruth,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1. Skizzieren sie die Folge [mm](x_{n}),[/mm] mit n auf der x-Achse
> und [mm]x_{n}[/mm] auf der y-Achse für n [mm]\le[/mm] 21.
>
> Heißt das, ich muss für n einfach Zahlen von 0 - 21 auf die
> x-Achse schreiben? Und wie muss [mm]x_{n}[/mm] auf der y-Achse
> aussehen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du kannst die Folge [mm] $x_n$ [/mm] auffassen als eine Funktion $x: [mm] \IN \to \IR$, [/mm] wobei du jeder natürlichen Zahl $n$ eine reelle Zahl [mm] $x_n=x(n)$ [/mm] zuordnest. D.h. du bist auf der $x$-Achse bei $1; 2; 3; 4; [mm] \cdots; [/mm] 20; 21$. Den zugehörigen Folgenwert [mm] $x_n$ [/mm] kannst du dann als $y$-Wert wählen.
> 2. Finden Sie die streng monoton steigende Folge [mm](n_{k}),[/mm]
> so dass [mm](x_{n}_{k})[/mm] die Teilfolge von [mm](x_{n})[/mm] ist, die aus
> allen Nullwerten von [mm](x_{n})[/mm] besteht.
> Starthilfe: [mm](n_{k})[/mm] = 0, 2, 6, 12, 20, ...
Hierbei sollst du all die Indizes $n$ auswählen, denen [mm] $x_n=0$ [/mm] zugeordent wird. Diese Zahlen kannst du selbst wieder als eine Folge [mm] $n_k$ [/mm] auffassen. Die ersten Folgenglieger die Nullwerden sind ja wohl [mm] $x_0$, $x_2$, $x_6$, \cdots, [/mm] also die Indizes $0; 2; 6; 12; 20; [mm] \cdots$. [/mm] Jetzt wird eine Folge [mm] $n_k$ [/mm] definiert, die jeder natürlichen Zahl $k$ einen Index $n$ mit [mm] $x_n=0$ [/mm] zuordnet, dabei steht dann [mm] $n_k$ [/mm] für den $k$-te Index an dem [mm] $x_{n}$ [/mm] Null ist. Wenn du dir mal die ersten Werte für [mm] $n_k$ [/mm] ansiehst, sollte dir etwas auffallen, ansonsten musst du dir noch weiter Folgelieder aufschreiben, bis du den nächsten Index mit [mm] $x_n=0$ [/mm] findest. Wenn du das System gefunden hast kannst du [mm] $n_k$ [/mm] relativ leicht defenieren.
> 3. Die Folge [mm](m_{k})[/mm] sei durch [mm]m_{k}[/mm] = [mm]n_{k}[/mm] + 1 definiert.
> Was ist die Teilfolge [mm](x_{m}_{k})?[/mm] Hinweis: diese Teilfolge
> ist eine monoton fallende Nullfolge.
Naja, durch die Folge [mm] $m_k$ [/mm] wird immer die Indizes hinter den Folgengliedern mit [mm] $x_n=0$ [/mm] ausgewählt. D.h. die ersten Folgendglieder für [mm] $m_k$ [/mm] wären: $1; 3; 7; 13; 21; [mm] \cdots$. [/mm] Wenn du dir diese Folgeglieder nochmal ansiehst wird dir auffallen, wie man die Teilfolge [mm] $x_{m_k}$ [/mm] noch anders beschreiben kann.
> 4. Beiweisen sie: [mm]|x_{n+1}[/mm] - [mm]x_{n}|[/mm] konvergiert gegen 0.
>
> Hier weiß ich nicht, wie ich das rechnen soll, ohne das die
> genaue Folge angegeben ist.
Hier würde es sicherlich helfen erstmal die Differenzen [mm] $x_{n+1}-x_n$ [/mm] zu berechen. Dir sollte relativ schnell auffallen, wie die Folge der Differenzen weitergeht. Daran erkennst du dann auch leicht, dass es sich wirklich um eine Nullfolge handelt. Übrigens ist es nicht notwendig einen expliziten Ausdruck zu haben - du hast bei deiner verbalen Beschreibung der Folge schon die Differenzenfolge erläutert.
> 5. Beweisen sie: für jede rationale Zahl 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> gilt [mm]x_{n}[/mm] = x für unendlich viele n.
Da die Werte für [mm] $x_n$ [/mm] zwischen $0$ und $1$ verlaufen ist dies ja relativ einsichtig. Und da deine rationale Zahl ja auch durch [mm] $\frac{p}{q}=\frac{2p}{2q}=\cdots$ [/mm] darstellbar ist, ist dies sehr leicht zu begründen.
> 6. Beweisen sie: jedes x [mm]\in[/mm] [0,1] ist ein Häufungswert
> von [mm](x_{n}).[/mm] Ist [mm](x_{n})[/mm] eine Cauchyfolge?
Das ist ein direkter Schluss aus 5. Da musst du nur die Definition von Häufungswert benutzen. Die Definition einer Cauchyfolge fordertja, das ab einem bestimmtem Index [mm] $n_0$ [/mm] alle Folgeglieder beliebig dicht aneinander liegen, ist das hier der Fall?
Ich persönlich muss ja sagen, dass ich die Aufgabe wunderschön finde! Ich wäre froh gehabt mal so etwas schönes im Studium rechnen/ösen zu dürfen, da kann man wirklich etwas über Folgen lernen.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 24.05.2005 | | Autor: | Adele |
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich bin nun gerade dabei, das zu bearbeiten, allerdings vertsehe ich den 2ten Teil nicht ganz:
> Hierbei sollst du all die Indizes [mm]n[/mm] auswählen, denen [mm]x_n=0[/mm]
> zugeordent wird. Diese Zahlen kannst du selbst wieder als
> eine Folge [mm]n_k[/mm] auffassen. Die ersten Folgenglieger die
> Nullwerden sind ja wohl [mm]x_0[/mm], [mm]x_2[/mm], [mm]x_6[/mm], [mm]\cdots,[/mm] also die
> Indizes [mm]0; 2; 6; 12; 20; \cdots[/mm]. Jetzt wird eine Folge [mm]n_k[/mm]
> definiert, die jeder natürlichen Zahl [mm]k[/mm] einen Index [mm]n[/mm] mit
> [mm]x_n=0[/mm] zuordnet, dabei steht dann [mm]n_k[/mm] für den [mm]k[/mm]-te Index an
> dem [mm]x_{n}[/mm] Null ist. Wenn du dir mal die ersten Werte für
> [mm]n_k[/mm] ansiehst, sollte dir etwas auffallen, ansonsten musst
> du dir noch weiter Folgelieder aufschreiben, bis du den
> nächsten Index mit [mm]x_n=0[/mm] findest. Wenn du das System
> gefunden hast kannst du [mm]n_k[/mm] relativ leicht defenieren.
Ich versteh das nicht ganz, wenn ich alle Indizes n auswählen soll, denen [mm] x_{n}=0 [/mm] zugeordnet wird, wieso werden die Folgenglieder [mm] x_{0}, x_{2}, x_{6} [/mm] ... null? Ich seh das einfach nicht.
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Di 24.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Ruth,
hier nochmal deine Folge.
[mm] $x_0=\frac{0}{1}; \quad x_1=\frac{1}{1}; \quad x_2=\frac{0}{2}; \quad x_3=\frac{1}{2}; \quad x_4=\frac{2}{2}; \quad x_5=\frac{1}{2}; \quad x_6=\frac{0}{3}; \quad x_7=\frac{1}{3}; \quad x_8=\frac{2}{3}; \quad x_9=\frac{3}{3}; \quad x_{10}=\frac{2}{3}; \quad x_{11}=\frac{1}{3}; \quad x_{12}=\frac{0}{4}; \cdots [/mm] $
Da sind doch wohl eindeutig [mm] $x_0; x_2; x_6$ [/mm] und [mm] $x_{12}$ [/mm] Null, oder? Damit enthält die Teilfolge [mm] $n_k$ [/mm] die Indizes $0; 2; 6; 12; [mm] \cdots$. [/mm] Also gilt für die Folge [mm] $n_k$, [/mm] dass [mm] $n_0=0; n_1=2; n_2=6; n_3=12; \cdots$.
[/mm]
Jetzt etwas klarer?
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 24.05.2005 | | Autor: | Adele |
> Hallo Ruth,
>
> hier nochmal deine Folge.
>
> [mm]x_0=\frac{0}{1}; \quad x_1=\frac{1}{1}; \quad x_2=\frac{0}{2}; \quad x_3=\frac{1}{2}; \quad x_4=\frac{2}{2}; \quad x_5=\frac{1}{2}; \quad x_6=\frac{0}{3}; \quad x_7=\frac{1}{3}; \quad x_8=\frac{2}{3}; \quad x_9=\frac{3}{3}; \quad x_{10}=\frac{2}{3}; \quad x_{11}=\frac{1}{3}; \quad x_{12}=\frac{0}{4}; \cdots[/mm]
>
> Da sind doch wohl eindeutig [mm]x_0; x_2; x_6[/mm] und [mm]x_{12}[/mm] Null,
> oder? Damit enthält die Teilfolge [mm]n_k[/mm] die Indizes [mm]0; 2; 6; 12; \cdots[/mm].
> Also gilt für die Folge [mm]n_k[/mm], dass [mm]n_0=0; n_1=2; n_2=6; n_3=12; \cdots[/mm].
>
> Jetzt etwas klarer?
>
Ja, ich hab mich total doof vertan, ich habe mit [mm] x_1=\frac{0}{1} [/mm] angefangen, dardurch wird der Rest nicht mehr 0 und deswegen nicht verstanden warum die Null werden.
Danke dir.
Liebe Grüße,
Adele
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