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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Di 29.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \{a_n\}_{n\in\IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass es Konstanten 0<c<C mit [mm] c
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n)(\limes_{n\rightarrow\infty}inf\bruch{1}{a_n})=1 [/mm] |
ich finde hierbei keinen ansatz, kann mir jemand sagen wie ich hierbei anfangen muss?
gruß sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\{a_n\}_{n\in\IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit der
> Eigenschaft, dass es Konstanten 0<c<C mit [mm]c
> [mm]n\in\IN[/mm] gibt. Zeigen Sie, dass
>
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n)(\limes_{n\rightarrow\infty}inf\bruch{1}{a_n})=1[/mm]
>
> ich finde hierbei keinen ansatz, kann mir jemand sagen wie
> ich hierbei anfangen muss?
Sei A die Menge der Häufungswerte von [mm] (a_n) [/mm] und B die Menge der Häufungswerte von [mm] (1/a_n)
[/mm]
1. Zeige: [mm] $B=\{1/x: x \in A\}$
[/mm]
2. Zeige: $min~B= [mm] \bruch{1}{max ~A}$
[/mm]
FRED
>
> gruß sarah
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 29.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
kann man das inf [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] nicht auch durch ein sup ausdrücken? ich habe sowas schonmal gesehen, aber finde es nicht mehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> kann man das inf [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm] nicht auch durch ein sup
> ausdrücken? ich habe sowas schonmal gesehen, aber finde es
> nicht mehr
Hab ich doch geschrieben: $ min~B= [mm] \bruch{1}{max ~A} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 29.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
meinst du das so: inf [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = sup [mm] a_n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> meinst du das so: inf [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = sup [mm]a_n[/mm]
Nein.
Oben hast Du geschrieben, dass Du nicht weißt , wie Du anfangen sollst.
Ich habe Dir geschrieben, wie Du anfangen kannst ( und dann auch weitermachen kannst)
Warum fängst Du denn bitteschön dann nicht an ????
FRED
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:34 Di 29.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
aber das muss ich doch wissen um die aufgabe zu lösen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 01.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 29.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
hab jetzt das gemacht was du gesagt hast:
a)
Sei [mm] y\in{B}
[/mm]
Da [mm] B\subseteq\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y\in\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}
[/mm]
Da [mm] A\subseteq\{a_n\}_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y\in\{\bruch{1}{x}|x\in{A}\}
[/mm]
Sei [mm] y\in\{\bruch{1}{x}|x\in{A}\}
[/mm]
Da [mm] A\subseteq\{a_n\}_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in\{a_n\}
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{1}{x}\in\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y\in\{\bruch{1}{a_n}|a_n\in\{a_n\}_{n\in\IN}\}
[/mm]
Da [mm] B\subseteq\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y\in{B}
[/mm]
ansonsten gilt doch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n=supA
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf \bruch{1}{a_n}=infB
[/mm]
also
sup A * inf B muss 1 ergeben...
ich weiß nicht wie ich dann weiter vorgehen muss...ist der ansatz schon richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hab jetzt das gemacht was du gesagt hast:
>
> a)
> Sei [mm]y\in{B}[/mm]
> Da [mm]B\subseteq\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}[/mm]
Das ist doch Quatsch !
> [mm]\Rightarrow y\in\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}[/mm]
> Da
> [mm]A\subseteq\{a_n\}_{n\in\IN}[/mm]
Das ist doch Quatsch !
> [mm]\Rightarrow y\in\{\bruch{1}{x}|x\in{A}\}[/mm]
>
> Sei [mm]y\in\{\bruch{1}{x}|x\in{A}\}[/mm]
> Da [mm]A\subseteq\{a_n\}_{n\in\IN}[/mm]
Das ist doch Quatsch !
> [mm]\Rightarrow x\in\{a_n\}[/mm]
> Dann ist
> [mm]\bruch{1}{x}\in\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}[/mm]
> [mm]\Rightarrow y\in\{\bruch{1}{a_n}|a_n\in\{a_n\}_{n\in\IN}\}[/mm]
>
> Da [mm]B\subseteq\{\bruch{1}{a_n}\}_{n\in\IN}[/mm]
Das ist doch Quatsch !
> [mm]\Rightarrow y\in{B}[/mm]
>
>
> ansonsten gilt doch:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n=supA[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}inf \bruch{1}{a_n}=infB[/mm]
>
> also
>
> sup A * inf B muss 1 ergeben...
>
> ich weiß nicht wie ich dann weiter vorgehen muss...ist der
> ansatz schon richtig?
Nein.
Nirgendwo kommt oben ein "Häufungswert" vor ! Da lim sup und lim inf Häufungswerte sind, kann aus Deinen obigen Ergüssen niemals etwas brauchbares werden !
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:53 Mi 30.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
wo liegt denn genau der fehler, stehe ein bisschen auf dem schlauch :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
kann mir jemand sagen wo genau mein fehler liegt? ich verstehe das nicht und muss die aufgabe heute fertig bekommen :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mi 30.11.2011 | | Autor: | felix28593 |
> kann mir jemand sagen wo genau mein fehler liegt? ich
> verstehe das nicht und muss die aufgabe heute fertig
> bekommen :S
Wir müssen den Diff-Zettel doch erst Freitag abgeben :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ich weiss, ich habe morgen aber nicht so viel zeit, von daher muss ich alles heute schon so gut wie fertig haben ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> kann mir jemand sagen wo genau mein fehler liegt? ich
> verstehe das nicht und muss die aufgabe heute fertig
> bekommen :S
Ich kann solch ein Gejammer nicht mehr hören !
Allein kriegst Du die Aufgabe nicht hin. Mit Hilfe und einem Kochrezept auch nicht. Dir fehlen ganz gewaltig Grundlagen.
Also , was soll das Gejammer. Hab Mut zur Lücke.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\{a_n\}_{n\in\IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit der
> Eigenschaft, dass es Konstanten 0<c<C mit [mm]c
> [mm]n\in\IN[/mm] gibt. Zeigen Sie, dass
>
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n)(\limes_{n\rightarrow\infty}inf\bruch{1}{a_n})=1[/mm]
>
> ich finde hierbei keinen ansatz, kann mir jemand sagen wie
> ich hierbei anfangen muss?
Freds Ansatz war doch super. Aber man kann es auch mit Teilfolgen machen:
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] durch [mm] $C\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist, existiert [mm] $S:=\limsup a_n$ [/mm] und es ist $0 [mm] \le [/mm] S [mm] \le C\,,$ [/mm] wobei die erste Ungleichung gilt, weil die [mm] $a_n$ [/mm] ja alle wegen [mm] $a_n [/mm] > c > 0$ sogar echt positiv sind und die zweite per Definitionem des Supremums.
Die durch [mm] $b_n:=1/a_n$ [/mm] definierte Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist folglich auch echt positiv und durch [mm] $1/S\,$ [/mm] nach unten beschränkt und es existiert demzufolge [mm] $s:=\liminf b_n=\liminf (1/a_n)$ [/mm] mit $s [mm] \ge 1/S\,.$
[/mm]
Weil [mm] $S=\limsup a_n\,,$ [/mm] existiert eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $$S=\lim_k a_{n_k}\,,$$
[/mm]
wobei wir o.E. diese Teilfolge als streng monoton wachsend annehmen dürfen. Kurzgesagt: [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] konvergiert streng wachsend gegen [mm] $S\,:$
[/mm]
Es ist gilt also $0 < [mm] a_{n_k}$ [/mm] und $S [mm] \ge a_{n_k} \to [/mm] S [mm] \;\;\;(k \to \infty)\,.$
[/mm]
Daraus folgt natürlich
$$0 < [mm] b_{n_k}=1/a_{n_k}$$
[/mm]
und
$$1/S [mm] \le b_{n_k}=1/a_{n_k} \to [/mm] 1/S [mm] \;\;\;(k \to \infty)\,,$$
[/mm]
und die Folge [mm] $(b_{n_k})_k$ [/mm] fällt hierbei streng gegen [mm] $1/S\,.$ [/mm] Weil aber $1/S$ untere Schranke für [mm] $(b_n)_n$ [/mm] war, und eine Teilfolge von [mm] $(b_n)_n\,,$ [/mm] nämlich [mm] $(b_{n_k})_k\,,$ [/mm] (sogar streng fallend) gegen $1/S$ konvergiert, kann es keine größere untere Schranke für [mm] $(b_n)_n$ [/mm] geben (denn diese würde dann für ein genügend großes [mm] $K\,$ [/mm] vom Folgeglied [mm] $b_{n_K}$ [/mm] unterlaufen werden). Damit muss also auch $1/S [mm] \ge [/mm] s$ sein.
Nach Definition von [mm] $s:=\liminf b_n$ [/mm] ist aber, als größte untere Schranke von [mm] $(b_n)_n\,,$ [/mm] sicher $s [mm] \ge [/mm] 1/S$ gewährleistet, da wir $1/S$ als eine untere Schranke für [mm] $(b_n)$ [/mm] mit [mm] $b_n=1/a_n$ [/mm] erkannt hatten.
Also gilt
$$s [mm] \ge [/mm] 1/S [mm] \ge s\,.$$
[/mm]
Was besagt das nun?
(Bemerkungen: Anstatt der Forderung $0 < c [mm]
Gruß,
Marcel
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