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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 25.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n} [/mm] eine rekursiv definierte Folge mit [mm] a_{0}, a_{1} \in \IR [/mm] und [mm] a_{n+2}= -3a_{n} +4a_{n+1}, [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass aus B= [mm] SAS^{-1} [/mm] folgt: [mm] B^n= SA^nS^{-1} \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
b) Bestimmen Sie eine Matrix B mit [mm] \pmat{ a_{n+1} \\ a_{n+2} }= B\pmat{ a_{n} \\ a_{n+1} } [/mm] und folgern Sie: [mm] \pmat{ a_{n} \\ a_{n+1} }= B^n \pmat{ a_{0} \\ a_{1} } \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo,
Hab leider vor allem bei Aufgabe b) große Schwierigkeiten auf einen Ansatz zu kommen. Die a) würde ich einfach über vollständige Induktion lösen, mit dem Induktionssschritt: n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] B^{n+1}= B^n [/mm] B =(nach Induktionsannahme) [mm] SA^nS^{-1}B [/mm] = [mm] SA^nS^{-1}SAS^{-1} [/mm] = [mm] SA^nAS^{-1}= SA^{n+1}S^{-1} \Box.
[/mm]
Zur b) hab ich nun doch die Matrx [mm] B=\pmat{ 0 & 1 \\ -3 & 4 }gefunden, [/mm] aber wie könnt ich nun weiter de Behauptung folgern?
Wäre sehr dankbar, wenn jemand mir einen Tipp zur b) geben könnte. Ich steh völlig auf dem Schlauch. Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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> Zur b) hab ich nun doch die Matrx [mm]B=\pmat{ 0 & 1 \\ -3 & 4 }gefunden,[/mm]
> aber wie könnt ich nun weiter de Behauptung folgern?
> Wäre sehr dankbar, wenn jemand mir einen Tipp zur b)
> geben könnte.
Hallo,
mach doch einfanch 'ne Induktion.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 25.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | d) Berechnen Sie nun [mm] a_{n} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] |
Vielen Dank schon mal soweit, hab die Induktion hinbekommen.
Ich vermute mal dass ich dies wiederum aus [mm] \pmat{ a_{n} \\ a_{n+1} } [/mm] = [mm] B^n \pmat{ a_{0} \\ a_{1} } [/mm] folgern könnte. So komm ich auf [mm] a_{2}= -3a_{0}+4a_{1}; a_{3}= -12a_{0}+13a_{1}; a_{4}= -39a_{0}+40a_{1}. [/mm] Mein Problem liegt aber hauptsächlich darin, das nun auf eine allgemeine Formel zu bringen. Hoffe irgendwer kann mir weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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> d) Berechnen Sie nun [mm]a_{n}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]a_{0}[/mm] und
> [mm]a_{1}[/mm]
> Vielen Dank schon mal soweit, hab die Induktion
> hinbekommen.
> Ich vermute mal dass ich dies wiederum aus [mm]\pmat{ a_{n} \\ a_{n+1} }[/mm]
> = [mm]B^n \pmat{ a_{0} \\ a_{1} }[/mm] folgern könnte. So komm ich
> auf [mm]a_{2}= -3a_{0}+4a_{1}; a_{3}= -12a_{0}+13a_{1}; a_{4}= -39a_{0}+40a_{1}.[/mm]
> Mein Problem liegt aber hauptsächlich darin, das nun auf
> eine allgemeine Formel zu bringen. Hoffe irgendwer kann mir
> weiterhelfen.
Hallo,
hier verhilft hilft die von Dir gewählte Überschrift zu Ideen: diagonalisiere B, dh. schreibe B als [mm] B=S^{-1}AS.
[/mm]
dann ist [mm] B^n [/mm] = [mm] S^{-1}A^nS.
[/mm]
Damit solltest Du weiterkommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 25.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, das hat mir wirklich sehr weitergeholfen.
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