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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Bestimme Grenzwert der Folge und Konvergenz
[mm] a_1=1
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_n+1} [/mm] |
Kandidat für Grenzwert (wenn es konvergiert) wäre:
lim [mm] a_n [/mm] = lim [mm] a_{n+1}
[/mm]
n-> [mm] \infty
[/mm]
[mm] a^2= [/mm] a+1
[mm] 0=a^2-a-1
[/mm]
[mm] a_{1,2}= \frac{1\pm \wurzel{5}}{2}
[/mm]
Beschränktheit
[mm] a_n \le [/mm] 2
i.Anfang [mm] a_1 \le [/mm] 2 <=> 1 [mm] \le [/mm] 2 stimmt
I.Annahme [mm] a_n \le [/mm] 2
ZZ.: [mm] a_{n+1} \le [/mm] 2
I.Schritt [mm] \wurzel{a_n +1} \le [/mm] 2
[mm] a_n [/mm] +1 [mm] \le [/mm] 4
da [mm] a_n \le [/mm] 2 ist [mm] a_n [/mm] +1 [mm] \le [/mm] 3 also stimmts
[mm] a_n \ge [/mm] 1
<=> [mm] a_n [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] 0
I.Anfang 0 [mm] \ge [/mm] 0 stimmt
i.Annahme [mm] a_n [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] 0
ZZ [mm] a_{n+1}-1 \ge [/mm] 0
I.Schritt [mm] \wurzel{a_n +1}-1 \ge [/mm] 0
[mm] a_n [/mm] +1 -1 [mm] \ge [/mm] 0
da [mm] a_n [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 0 ist [mm] a_n-1 [/mm] +1 auch [mm] \ge [/mm] 0
Monotonie:
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] < [mm] \wurzel{a_n +1}
[/mm]
[mm] a_n^2 [/mm] < [mm] a_n [/mm] +1
0 < [mm] a_n^2 [/mm] - [mm] a_n [/mm] -1
0 < [mm] a_n [/mm] + [mm] (a_n [/mm] -1 ) -1
da 1 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 ist -1 [mm] \le a_n-1 \le [/mm] 1
Ist das vollkommen ein Chaos?
Hilfe wäre supa!!
LG
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Hallo,
die Beschränktheit nach oben hast du richtig gezeigt. Die Beschränktheit nach unten machst du wegen deinem Ansatz in Sachen Monotonie?
Nun, die Folge steigt ja monoton, insofern ist das vielleicht gar nicht nötig. Denn:
> Monotonie:
> [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]a_n[/mm] < [mm]\wurzel{a_n +1}[/mm]
> [mm]a_n^2[/mm] < [mm]a_n[/mm] +1
> 0 < [mm]a_n^2[/mm] - [mm]a_n[/mm] -1
> 0 < [mm]a_n[/mm] + [mm](a_n[/mm] -1 ) -1
> da 1 [mm]\le a_n \le[/mm] 2 ist -1 [mm]\le a_n-1 \le[/mm] 1
die rot markierte Zeile ist falsch (das Ungleich-Zeichen muss seine Richtung ändern).
Meiner Ansicht nach kann man die Beschränkheit nach unten sausen lassen, und unter Verwendung der Beschränktheit nach oben die Monotonie über den Quotienten
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}
[/mm]
nachweisen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Achja das dreht sich ja um ;)
> Monotonie:
> $ [mm] a_n [/mm] $ < $ [mm] a_{n+1} [/mm] $
> $ [mm] a_n [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{a_n +1} [/mm] $
> $ [mm] a_n^2 [/mm] $ < $ [mm] a_n [/mm] $ +1
0 > $ [mm] a_n^2 [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $ -1
Aber dafür brauche ich jetzt doch die Beschränktheit nach unten??
$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] $ = [mm] \frac{\wurzel{a_{n}+1}}{a_n}
[/mm]
Da komme ich aber ohne beschränktherit nach unten auch nicht weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Helbig |
Hi,
es ist wohl einfacher, ohne Monotonienachweis die Konvergenz gegen einen der beiden Kandidaten zu zeigen.
Hierzu mußt Du herausfinden, welcher der beiden Grenzwerte in Frage kommt.
Viel Erfolg
Wolfgang.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Lu- |
> es ist wohl einfacher, ohne Monotonienachweis die Konvergenz gegen einen der beiden Kandidaten zu zeigen.
Bei rekursiven Folgen ist das meist der falsche weg. Kann schon sein, dass es vlt hier anders ist.
Ich möchte aber nur wenn ich es nicht ganz alleine schaffe, den weg jetzt übern Haufen schmeißen und aufgeben!
Für einen Tipp bei der monotonie wäre ich dir dankbar!
> Ich hab ja schon bewiesen [mm] a_n \le [/mm] 2
Wie schon gesagt stehe ich bei der monotonie an:
> Monotonie:
> $ [mm] a_n [/mm] $ < $ [mm] a_{n+1} [/mm] $
> $ [mm] a_n [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{a_n +1} [/mm] $
> $ [mm] a_n^2 [/mm] $ < $ [mm] a_n [/mm] $ +1
> 0 > $ [mm] a_n^2 [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $ -1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Aber.. wir haben doch [mm] a_n [/mm] nicht gegeben für gleich die Konvergenz zu zeigen! Also glaub ich nicht ganz, dass das der einfache weg ist!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> Aber.. wir haben doch [mm]a_n[/mm] nicht gegeben für gleich die
> Konvergenz zu zeigen! Also glaub ich nicht ganz, dass das
> der einfache weg ist!
Na gut. Dann zeige die Monotonie per Induktion.
Dies ist tatsächlich einfach: Aus $ [mm] a_{n+1} >a_n$ [/mm] folgt [mm] $a_{n+2} [/mm] > [mm] a_{n+1}$ [/mm] (Induktionsschritt) und es ist [mm] $a_2 [/mm] > [mm] a_1$ [/mm] (Induktionsanfang).
Viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich danke dir für den Tipp
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n
[/mm]
I.Anfang für n=1
[mm] a_2 [/mm] > [mm] a_1
[/mm]
[mm] \wurzel{2}>1 [/mm] stimt
I.Annahme: [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n
[/mm]
d.h [mm] \wurzel{1+a_{n}}> a_n
[/mm]
ZuZeigen: [mm] a_{n+2} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
I.Schritt: [mm] \wurzel{1+a_{n+1}} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\wurzel{1+a_{n}}} [/mm] wegen I.Annahme > [mm] \wurzel{a_n +1}
[/mm]
DANKE ;) Jetzt hoffe ich noch, dass es so passt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Helbig |
Paßt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Lu- |
danke nochmals ;)
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