Folge,Schranken,Monot.,Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:27 So 20.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Es sei [mm] F={\wurzel{n(n+1)}-n}\quadn\in\IN [/mm] eine Folge.
a) Ist die Folge monoton wachsend?
b) Ist die Folge beschränkt? Ggf. durch welche Schranken
c) Ist die Folge konvergent? Limesmenge angeben. |
Hallo,
ich versuch mich grad am berechnen von Monotonie und Konvergenz. zu a) Das habe ich, denke ich gelöst. zu b)Ich bin mir nicht sicher, ob mein Ansatz stimmt und wie ich weiter rechnen soll. Vielleicht hat jmd noch nen Tipp für mich.zu c) die Aufgabe mit der Limesmenge ist mir noch ziemlich unklar. eine Idee, wie ich da rangehen könnte, wäre nett.
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zu a) Vorraussetzung für mon. Wachstum: [mm] a_{n-1}-a_n\ge0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\wurzel{(n+1)(n+1+1)}-(n+1))-(\wurzel{n(n+1)}-n)\ge0
[/mm]
[mm] (\wurzel{n^2+3n+2})-n-1-\wurzel{n^2+n}+n\ge0
[/mm]
[mm] (\wurzel{n^2+3n+2})-1-\wurzel{n^2+n}\ge0\qquad |+1/+\wurzel{n^2+n}
[/mm]
[mm] \wurzel{n^2+3n+2}\ge1+\wurzel{n^2+n}\qquad |^2
[/mm]
[mm] n^2+3n+2\ge1+2\wurzel{n^2+n}+n^2+n \qquad |-1/-n^2/-n
[/mm]
[mm] 2n+1\ge2\wurzel{n^2+n}\qquad [/mm] |:2
n+ [mm] \bruch{1}{2}\ge\wurzel{n^2+n}\qquad |^2
[/mm]
[mm] n^2+n+0,25\gen^2+n\qquad |-n/-n^2
[/mm]
[mm] 0,25\ge0 \Rightarrow [/mm] die Folge ist also monoton wachsend und wegen 0,25>0 sogar streng monoton wachsend
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zub) Für die untere Schranke setze ich n=1 ein, weil [mm] n\in\IN, [/mm] also:
[mm] \wurzel{1(1+1)}-1 [/mm] = [mm] \wurzel{2}-1 \approx [/mm] 0,41
Da die Folge monoton wachsend ist, müsste der Grenzwert die obere Schranke sein:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n(n+1)}-n\qquad [/mm] |Erweitern mit [mm] \bruch{(\wurzel{n(n+1)}+n)}{\wurzel{n(n+1)}+n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n(n+1)}-n)*(\wurzel{n(n+1)}+n)}{\wurzel{n(n+1)}+n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+n-n^2}{\wurzel{n^2+n}+n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n*(\bruch{\wurzel{n^2+n}}{n}+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n^2+n}}{n}+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n}}{n}+\bruch{\wurzel{n+1}}{n}+1}
[/mm]
Ab hier weiß ich nicht so recht weiter. Irgendwie müsste ich das n aus der Wurzel bekommen, aber ich habe absolut keine Idee wie. Für einen Tipp wär ich sehr dankbar. Vielleicht geht auch das? :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n}}{n}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n+1}}{n}=0
[/mm]
zu c) Die Folge ist konvergent, da ein Genzwert existiert (ich hab ihn nur noch nicht berechnen können). Ich weiß auch nicht so recht, wie ich auf eine limesmenge komme. Ist das der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert?
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Für Tipps und Korrenkturen wär ich sehr dankbar.
lg
Klemme
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Hallo,
> Es sei [mm]F_{\red{n}}={\wurzel{n(n+1)}-n}\quad n\in\IN[/mm] eine Folge.
> a) Ist die Folge monoton wachsend?
> b) Ist die Folge beschränkt? Ggf. durch welche Schranken
> c) Ist die Folge konvergent? Limesmenge angeben.
> zu a) Vorraussetzung für mon. Wachstum: [mm]a_{n-1}-a_n\ge0[/mm]
Das gilt nur bei monoton fallend.
>
> [mm]\Rightarrow (\wurzel{(n+1)(n+1+1)}-(n+1))-(\wurzel{n(n+1)}-n)\ge0[/mm]
Das wäre eine Art Induktionsbehauptung - aber du machst hier eigentlich gar keine Induktion, denn du verwendest nirgends die IV. Außerdem würde dann der Anfang fehlen.
Wie du gesehen hast, ist die Umformung hier auch direkt möglich - also Beweis ohne Induktion.
Es macht sich nun noch günstiger den Beweis andersrum aufzuschreiben: Mit den Voraussetzungen beginnen und am Ende die Behauptung da stehen haben
>
> [mm](\wurzel{n^2+3n+2})-n-1-\wurzel{n^2+n}+n\ge0[/mm]
>
> [mm](\wurzel{n^2+3n+2})-1-\wurzel{n^2+n}\ge0\qquad |+1/+\wurzel{n^2+n}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{n^2+3n+2}\ge1+\wurzel{n^2+n}\qquad |^2[/mm]
>
> [mm]n^2+3n+2\ge1+2\wurzel{n^2+n}+n^2+n \qquad |-1/-n^2/-n[/mm]
>
> [mm]2n+1\ge2\wurzel{n^2+n}\qquad[/mm] |:2
>
> n+ [mm]\bruch{1}{2}\ge\wurzel{n^2+n}\qquad |^2[/mm]
>
> [mm]n^2+n+0,25\ge n^2+n\qquad |-n/-n^2[/mm]
>
> [mm]0,25\ge0 \Rightarrow[/mm] die Folge ist also monoton wachsend
> und wegen 0,25>0 sogar streng monoton wachsend
>
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 So 20.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hallo Kamaleonti,
das sollte eigentlich [mm] a_{n+1}-a_n\ge0 [/mm] heißen. So stimmt die Voraussetzung natürlich nicht. Danke für die Korrektur
lg
Klemme
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Hallo nochmal,
> zub) Für die untere Schranke setze ich n=1 ein, weil
> [mm]n\in\IN,[/mm] also:
>
> [mm]\wurzel{1(1+1)}-1[/mm] = [mm]\wurzel{2}-1 \approx[/mm] 0,41
Du rechnest doch selbst vor, dass 1 keine untere Schranke ist?? Wähle 0 als untere Schranke!
Als obere Schranke kannst du z. B abschätzen
[mm] \sqrt{n(n+1)}-n\leq \sqrt{(n+1)(n+1)}-n=1 [/mm] Also ist 1 eine obere Schranke
>
> Da die Folge monoton wachsend ist, müsste der Grenzwert
> die eine obere Schranke sein:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n(n+1)}-n\qquad[/mm]
> |Erweitern mit
> [mm]\bruch{(\wurzel{n(n+1)}+n)}{\wurzel{n(n+1)}+n}[/mm]
Das wäre Erweitern mit 1. In wirklichkeit erweiterst du mit [mm] $\wurzel{n(n+1)}+n$ [/mm] 
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n(n+1)}-n)*(\wurzel{n(n+1)}+n)}{\wurzel{n(n+1)}+n}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+n-n^2}{\wurzel{n^2+n}+n}[/mm]
>
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n*(\bruch{\wurzel{n^2+n}}{n}+1)}[/mm]
>
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n^2+n}}{n}+1}[/mm]
Hier siehst du eigentlich direkt, dass der Nenner gegen 2 geht. Also ist der Grenzwert [mm] \frac{1}{2}, [/mm] fertig.
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n}}{n}+\bruch{\wurzel{n+1}}{n}+1}[/mm]
Dieser Schritt stimmt nicht mehr. Es gilt höchstens [mm] $\bruch{\wurzel{n^2+n}}{n}=\bruch{\wurzel{n}}{n}\cdot\bruch{\wurzel{n+1}}{n}$
[/mm]
>
> Ab hier weiß ich nicht so recht weiter. Irgendwie müsste
> ich das n aus der Wurzel bekommen, aber ich habe absolut
> keine Idee wie. Für einen Tipp wär ich sehr dankbar.
> Vielleicht geht auch das? :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n}}{n}=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n+1}}{n}=0[/mm]
Der GW wäre hier 1, aber brauchst nicht (siehe oben)
>
zu c)
Mit der Limesmenge ist sicherlich die Menge der Häufungspunkte gemeint. In dem Fall gibt es nur einen und zwar den Grenzwert, der oben ermittelt wurde.
Gruß
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Bist du dir im klaren darüber, daß du in a) die falsche Beweisrichtung hast? Lies, was kamaleonti dazu gesagt hat.
Warum machst du die Umformung, die du bei der Limesberechnung verwendest, nicht gleich am Anfang (Vorsicht! Gegen Ende der Rechnung hast du einen Fehler drin)? Dann liegt doch alles auf der Hand:
[mm]\sqrt{n(n+1)} - n = \frac{1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}[/mm]
Wächst [mm]n[/mm], so fällt [mm]\frac{1}{n}[/mm], also auch [mm]1 + \frac{1}{n}[/mm]. Weil die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, die Monotonie also erhält, fällt dann auch [mm]\sqrt{1 + \frac{1}{n}}[/mm], ebenso [mm]1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}[/mm]. Und somit wächst [mm]\frac{1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}[/mm]. Das war die Monotonie.
Das erste Folgeglied ist damit das Infimum der Folgenglieder, das Supremum ist der Grenzwert.
Und das war's.
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