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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
| Aufgabe | beweisen sie für [mm] a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} [/mm] >0 :
[mm] \frac{n^2}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\le\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}} [/mm] |
Hey
ich soll diese Ungleichung beweisen, allerdings komme ich nicht so ganz weiter.
Meine Idee war jetzt:
[mm] \frac{n^2}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}} \le \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}
[/mm]
= [mm] n^2 \le (\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})*(a_{1}+a_{2}+..+a_{n})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n [mm] \le (\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})*\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}
[/mm]
jetzt ist der letzte Faktor ja das arithmetische Mittel. Aber wie hilft mir das hier die Ungleichung zu beweisen?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasi!
Ich habe mal Deine Formel oben korrigiert und hoffe, das ist es nun, was gezeigt werden soll.
Ich sehe jetzt nicht, wie Dein Weg weiter oder gar zum Ziel führen könnte.
Aber versuche es doch mal mit einer vollständigen Induktion.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
Hey
danke erstmal. das habe ich auch schon versucht. Allerdings bleibe ich dann im Induktionsschritt hängen, denn ich erhalte ja:
[mm] iV)\frac{n^2}{sum_{i=1}^{n}a_{i}} \le \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}
[/mm]
IS)
n-> n+1:
[mm] \frac{n^2+2n+1}{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}} \le \sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{a_{i}}
[/mm]
wenn ich nun die Induktionsvoraussetzung einsetze muss ich also zeigen:
[mm] \frac{n^2+2n+1}{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}} \le \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}
[/mm]
jetzt würde ich umformen zu:
[mm] {n^2+2n+1} \le \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}*\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}
[/mm]
was letztendlich aber auch würde ins leere führt :-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die zu beweisende Ungleichung in die Form
> $ [mm] n^2 \le (\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\cdot{}(a_{1}+a_{2}+..+a_{n}) [/mm] $
umzuschreiben wird zum Ziel führen.
Multipliziere aus und schreibe die Produkte in ein quadratisches Schema [mm] \pmat{ \bruch{a_1}{a_1} & \bruch{a_1}{a_2} & \bruch{a_1}{a_3} & ... & \bruch{a_1}{a_n} \\ \bruch{a_2}{a_1} & \bruch{a_2}{a_2} & \bruch{a_2}{a_3} & ... & \bruch{a_2}{a_n} \\ \bruch{a_3}{a_1} & \bruch{a_3}{a_2} & \bruch{a_3}{a_3} & ... & \bruch{a_3}{a_n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ \bruch{a_n}{a_1} & \bruch{a_n}{a_2} & \bruch{a_n}{a_3} & ... & \bruch{a_n}{a_n}}
[/mm]
Wenn du jetzt sämtliche Parallelen zur Hauptdiagonalen addierst, erhälst du
[mm] (\bruch{a_1}{a_1}+\bruch{a_2}{a_2}+...+\bruch{a_n}{a_n})+(\bruch{a_1}{a_2}+\bruch{a_2}{a_3}+...+\bruch{a_{n-1}}{a_n}+\bruch{a_n}{a_1})+...+(\bruch{a_1}{a_n}+\bruch{a_2}{a_1}+\bruch{a_3}{a_2}+...+\bruch{a_n}{a_{n-1}}) [/mm] . Beachte, dass die Diagonalen links fortgesetzt werden, wenn sie das Schema rechts verlassen.
Die erste Klammer ist gleich n, die restlichen n-1 Klammern können mit dem Ergebnis deiner anderen Aufgabe abgeschätzt werden, sie sind alle jeweils größer als n.
Daraus ergibt sich die Behauptung.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
Hey
danke für die Antwort 
ich verstehe was gemeint ist. Allerdings eine Frage:
>
> [mm](\bruch{a_1}{a_1}+\bruch{a_2}{a_2}+...+\bruch{a_n}{a_n})+(\bruch{a_1}{a_2}+\bruch{a_2}{a_3}+...+\bruch{a_{n-1}}{a_n}+\bruch{a_n}{a_1})+...+(\bruch{a_1}{a_n}+\bruch{a_2}{a_1}+\bruch{a_3}{a_2}+...+\bruch{a_n}{a_{n-1}})[/mm]
das die erste Klammer=n ist kann ich nachvollziehen. Das die dritte Klammer [mm] \ge [/mm] n ist auch (wegen der anderen Teilaufgabe)..aber wieso ist beispielsweise die 2. Klammer [mm] \ge [/mm] n? Denn es sind ja n Summanden aber der Nenner ist immer größer als der Zähler, das heißt jeder einzelne Summan ist <1 . Wie kann dann die gesamte Klammer [mm] \ge [/mm] n sein?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Sa 26.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Nenner sind doch nicht alle größer, wenb größer wird wird doch nicht [mm] a_n [/mm] grüßer? und alle Zahlen [mm] a_o [/mm] kommen mal im Z und im N vor. für die anderen Klammern gilt der Beweis der noch in der anderen Aufgabe ansteht entsprechend.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 So 27.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Falls die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zur Verfügung steht, setze
[mm] x=(\bruch{1}{\wurzel{a_1}},....,\bruch{1}{\wurzel{a_n}}) [/mm] und [mm] y=(\wurzel{a_1},...,\wurzel{a_n})
[/mm]
Nach obiger Ungl. ist
$x*y [mm] \le ||x||_2*||y||_2$
[/mm]
(wobei " $*$" das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] ist und [mm] ||*||_2 [/mm] die Euklidnorm).
FRED
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
