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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Sa 03.05.2008 | | Autor: | TMV |
Hallo,
ich soll in einer Aufgabe zeigen das eine Folge [mm] x^{(n)} \in l_{2} [/mm] ist, nur leider weiß ich nicht wie ich das machen soll. Ich weiß nur, dass [mm] x^{(n)} [/mm] eine Quardratsummierbare Folge sein muss, aber das hilft mir auch nicht weiter.
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen!
Gruß
TMV
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Sa 03.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo TMV
> ich soll in einer Aufgabe zeigen das eine Folge [mm]x^{(n)} \in l_{2}[/mm]
> ist, nur leider weiß ich nicht wie ich das machen soll. Ich
> weiß nur, dass [mm]x^{(n)}[/mm] eine Quardratsummierbare Folge sein
> muss, aber das hilft mir auch nicht weiter.
Schau dir doch mal die Definition davon an. Dann siehst du, dass [mm] $x^{(n)}$ [/mm] genau dann in [mm] $l_2$ [/mm] ist, wenn [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a^{(n)}|^2 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] gilt. Also musst du [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a^{(n)}|^2$ [/mm] berechnen bzw. geschickt nach oben abschaetzen, um zu zeigen, dass es in [mm] $l_2$ [/mm] liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Sa 03.05.2008 | | Autor: | TMV |
Danke erstmal!
In der Aufgabe soll ich auch nachweisen, dass es sich bei der Folge um eine Cauchyfolge handelt. Außerdem soll ihr Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] berechnet werden in [mm] l_{2}. [/mm] Gibt es bei der Grenzwertberechnung in [mm] l_{2} [/mm] irgendetwas in zu beachten? Weil man sieht das der Grenzwert 0 ist. Und wenn sie einen Grenzwert hat, heißt das doch, dass sie konvergiert und nach dem Kovergenzkriterium von Cauchy, wäre Sie damit auch eine Cauchyfolge!?!? Das hieße ja ich müsste nur den Grenzwert bestimmen- oder bringe ich hier gerade etwas durcheinander?
Gruß
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Hallo
wenn du es schaffst, nachzuweisen, dass 0 der Grenzwert ist, dann hast du natürlich auch gleichzeitig nachgewiesen, dass die Folge eine Cauchyfolge ist.
Sei vielleicht etwas vorsichtig mit der Formulierung "Grenzwertberechnung in [mm] $l^2$". [/mm] Die Folge [mm] $x^{(n)}$ [/mm] ist ein Element in [mm] $l^2$, [/mm] keine Folge in [mm] $l^2$. [/mm] D.h. du berechnest den Grenzwert von [mm] $x^{(n)}$ [/mm] als Folge in [mm] $\IR$, [/mm] und das ist die ganz normale Konvergenz, die man noch aus der Schule kennt.
Konvergenz in [mm] $l^2$ [/mm] hieße, dass du eine Folge von Folgen betrachtest, die gegen eine andere Folge konvergiert, das ist da aber offensichtlich nicht gemeint.
Gruß
Patrick
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