Folge der Fibonacci-Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Hab folgende Aufgabe zu lösen
Zeigen Sie das die Folge [mm] x_{n} [/mm] definiert durch
[mm] x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1} x_{0}=0, x_{1}=1
[/mm]
Zeigen Sie das [mm] x_{n} [/mm] fallend und bestimmt divergent ist
zur Monotonie:
zu zeigen das [mm] x_{n} \le x_{n+1} [/mm] ist
[mm] x_{n} \le x_{n}+x_{n-1}
[/mm]
[mm] 0\le x_{n-1} [/mm] wie deute ich das jetzt richtig???
Beim Grenzwert kann man sich denken das der gegen [mm] \infty [/mm] geht
Aber wie zeig ich das am besten?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=a
[/mm]
gilt dann auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}=a [/mm] ?
[mm] x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}+ \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1} [/mm] so gehts irgendwie nicht?
Danke
lg Stevo
|
|
| |
|
Hallo Stevo,
> Zeigen Sie das [mm]x_{n}[/mm] fallend und beschränkt ist
>
??? Wie jetzt, die Fibonaccizahlen sollen fallend und beschränkt sein ???
> zur Monotonie:
> zu zeigen das [mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] ist
> [mm]x_{n} \le x_{n}+x_{n-1}[/mm]
> [mm]0\le x_{n-1}[/mm] wie deute ich das
> jetzt richtig???
>
> Beim Grenzwert kann man sich denken das der gegen [mm]\infty[/mm]
> geht
>
> Aber wie zeig ich das am besten?
Und jetzt willst du zeigen, dass der grenzwert der fib.-zahlen unendlich ist? Hm, ich verstehe ehrlich gesagt diese logik nicht.
Aber ich würde die unbeschränktheit der fib.-zahlen über eine ganz grobe abschätzung nach unten beweisen, zB.
[mm] $x_n>=n$ [/mm] für $n>10$
oder so ähnlich. Eine solche abschätzung kannst du ganz leicht durch vollständige induktion beweisen.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Do 17.11.2005 | | Autor: | stevarino |
Hallo
>
>
habe eigentlich gemeint
Zeigen Sie das [mm]x_{n}[/mm] fallend und bestimmt divergent ist
>
> zur Monotonie:
> zu zeigen das [mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] ist
> [mm]x_{n} \le x_{n}+x_{n-1}[/mm]
> [mm]0\le x_{n-1}[/mm] wie deute ich das
> jetzt richtig???
>
> Beim Grenzwert kann man sich denken das der gegen [mm]\infty[/mm]
> geht
>
> Aber wie zeig ich das am besten?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=a[/mm]
>
> gilt dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}=a[/mm] ?
>
> [mm]x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}+ \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}[/mm]
> so gehts irgendwie nicht?
>
> Danke
> lg Stevo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Do 17.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevo!
Naja, auch monoton fallend halte ich hier für ein Gerücht  ...
> zur Monotonie:
> zu zeigen das [mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] ist
> [mm]x_{n} \le x_{n}+x_{n-1}[/mm]
> [mm]0\le x_{n-1}[/mm]
Und mit dieser Umformung hast Du auch die Eigenschaft "monoton steigend" nachgewiesen (schließlich ist das Folgeglied größer-gleich dem Vorgänger)!
Und die Deutung der letzten Zeile?
Hier steckt doch ein sehr verkürzter Nachweis mittels vollständiger Induktion drin, wenn Du dies nun auch noch im Induktionsanfang verankerst. Und das ist mit der Definition [mm] $x_0 [/mm] \ := \ 0 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ schnell vollzogen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
