Folge der Mittelwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Sa 25.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen
[mm] a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k
[/mm]
die Folge der Mittelwerte.
a) Zeigen Sie, dass die Mittelwerte [mm] (a_n) [/mm] konvergieren, falls die [mm] (x_n) [/mm] konvergieren. Wogegen nämlich?
b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt, d.h. es gibt eine Folge [mm] (x_n), [/mm] so dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, [mm] (x_n) [/mm] jedoch nicht.
c) Folgt aus der Konvergenz der [mm] (a_n), [/mm] dass die Folge der [mm] (x_n) [/mm] beschränkt ist? |
Hallo,
weiß jemand 1 oder 2 Beispielfolgen, mit denen ich arbeiten kann, um a, b und c zu verstehen?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen
>
> [mm]a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
>
> die Folge der Mittelwerte.
>
>
> a) Zeigen Sie, dass die Mittelwerte [mm](a_n)[/mm] konvergieren,
> falls die [mm](x_n)[/mm] konvergieren. Wogegen nämlich?
>
> b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt, d.h. es gibt
> eine Folge [mm](x_n),[/mm] so dass [mm](a_n)[/mm] konvergiert, [mm](x_n)[/mm] jedoch
> nicht.
>
> c) Folgt aus der Konvergenz der [mm](a_n),[/mm] dass die Folge der
> [mm](x_n)[/mm] beschränkt ist?
> Hallo,
>
> weiß jemand 1 oder 2 Beispielfolgen, mit denen ich
> arbeiten kann, um a, b und c zu verstehen?
bei a) nimm' einfach irgendeine konvergente Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] her, etwa
[mm] $x_k=1+1/k\,.$
[/mm]
Allgemein solltest Du versuchen, zu beweisen: [mm] $x_n \to [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow$ $a_n \to x\,.$
[/mm]
Bei b) betrachte [mm] $x_k:=(-1)^k\,.$
[/mm]
Bei c):
Setze [mm] $x_k:=0\,,$ [/mm] falls [mm] $k\,$ [/mm] keine Zehnerpotenz und [mm] $x_k:=m\,,$ [/mm] falls [mm] $k=10^m\,.$
[/mm]
Hinweis: Hier gilt [mm] $a_n \to 0\,.$
[/mm]
Tipp: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert genau ein $m [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit [mm] $10^m \le [/mm] n < [mm] 10^{m+1}\,.$
[/mm]
Und beachte: [mm] $\sum_{k=1}^m k=\frac{m*(m+1)}{2}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 27.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Also muss ich bei (a) zeigen, dass [mm] a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k [/mm] gegen a läuft. Also denselben Grenzwert wie die Folge [mm] (x_n) [/mm] hat.
Kann ich hier als Ansatz [mm] |a_n [/mm] - a| < /varepsilon benutzen?
(b) hab ich soweit verstanden.
Bei (c) widerrum blicke ich nicht wirklich durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also muss ich bei (a) zeigen, dass [mm]a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> gegen a läuft. Also denselben Grenzwert wie die Folge
> [mm](x_n)[/mm] hat.
>
> Kann ich hier als Ansatz [mm]|a_n[/mm] - a| < /varepsilon benutzen?
Ja. Tipp:Google: Cauchyscher Grenzwertsatz.
>
>
> (b) hab ich soweit verstanden.
>
>
> Bei (c) widerrum blicke ich nicht wirklich durch.
Was ist Dir am Beispiel von Marcel nicht klar ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Di 28.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Also zur Teilaufgabe (a) hab ich jetzt viel verstanden, nur am Ende hakt es etwas...
Sei [mm] (x_n) [/mm] konvergent, soll ich zeigen, dass auch [mm] a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k [/mm] konvergiert und gegen was.
[mm] x_n [/mm] -> a und [mm] a_n [/mm] -> a, also beide Folgen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert.
[mm] a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} (x_1 [/mm] + ... [mm] x_n)
[/mm]
Jetzt muss ich /varepsilon bestimmen. Dazu benutze ich [mm] |a_n [/mm] - a| und es folgt:
[mm] |a_n [/mm] - a| = [mm] |\bruch{1}{n} (x_1 [/mm] + ... [mm] x_n) [/mm] - a|
= [mm] \bruch{1}{n} |(x_1 [/mm] - a + ... [mm] x_n [/mm] - a)|
was mich zur Summe
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} (x_k [/mm] - a) bringt.
Hier erstmal die Frage, kann ich einfach so voraussetzen, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen den gleichen Grenzwert wie [mm] (x_n) [/mm] konvergiert? Bei vielen Musterlösungen wurde dies so gemacht aber ich soll es ja eigentich beweisen oder?
Jedenfalls wenn ich es voraussetze, weiß ich ja, dass wenn [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, gibt es ein [mm] N_1 \in \IN, [/mm] sodass [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \forall n>N_1
[/mm]
und es gibt auch ein [mm] N_2 \in \IN
[/mm]
Also folgt:
[mm] \bruch{1}{n} |(x_1 [/mm] - a + ...+ [mm] x_N_1-a+ x_N_2 [/mm] -a + ... + [mm] x_n [/mm] - a)| [mm] \le
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} |(x_1 [/mm] - a + ...+ [mm] x_N_1-a)| [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} |(x_N_2 [/mm] -a + ... + [mm] x_n [/mm] - a)|
Jedoch wie ich jetzt weitermachen muss, erschließt sich mir nicht ganz...
Bei (c) sehe ich nicht wirklich durch...
Also [mm] (x_k) [/mm] soll 0 sein, wenn es keine Zehnerpotenz ist und m, wenn es eine ist.
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] -> 0.
Das wars dann auch... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 28.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also zur Teilaufgabe (a) hab ich jetzt viel verstanden, nur
> am Ende hakt es etwas...
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] konvergent, soll ich zeigen, dass auch [mm]a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> konvergiert und gegen was.
>
> [mm]x_n[/mm] -> a und [mm]a_n[/mm] -> a, also beide Folgen konvergieren gegen
> den gleichen Grenzwert.
der Deutlichkeit halber schreibe: Wir definieren [mm] $a:=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und zeigen: [mm] $a_n \to [/mm] a$!
>
> [mm]a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} (x_1[/mm]
> + ... [mm]x_n)[/mm]
>
> Jetzt muss ich /varepsilon bestimmen. Dazu benutze ich [mm]|a_n[/mm]
> - a| und es folgt:
>
> [mm]|a_n[/mm] - a| = [mm]|\bruch{1}{n} (x_1[/mm] + ... [mm]x_n)[/mm] - a|
>
> = [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ... [mm]x_n[/mm] - a)|
>
> was mich zur Summe
>
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - a) bringt.
>
>
> Hier erstmal die Frage, kann ich einfach so voraussetzen,
> dass [mm](a_n)[/mm] gegen den gleichen Grenzwert wie [mm](x_n)[/mm]
Das machst Du nicht: Du WEIßT, dass [mm] $x_n \to a\,.$ [/mm] Für die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] willst
Du nun von einer gewissen Zahl, nennen wir sie zunächst mal [mm] $g\,,$ [/mm] nachweisen,
dass sie der Grenzwert dieser Folge ist. D.h.:
"Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] mit
[mm] $$|a_n-a| \le \epsilon \text{ für alle }n \ge N\,.\grqq$$
[/mm]
ist zu beweisen. Hättest Du nun keine Vermutung für [mm] $g\,,$ [/mm] so wird das eventuell
sehr schwer (Du kannst ja nicht alle $g [mm] \in \IR$ [/mm] durchlaufen) - und man
müßte die Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eventuell anders beweisen.
Wir zeigen aber nun, dass oben [mm] $g:=a=\lim_{n \to \infty}\red{x}_n\,$ [/mm] das Gewünschte erzielt!
> konvergiert? Bei vielen Musterlösungen wurde dies so
> gemacht aber ich soll es ja eigentich beweisen oder?
Wie gesagt: Das machst Du nicht - Du schaust Dir vielmehr oben an, was
mit [mm] $|a_n-a|\,$ [/mm] passiert, wobei [mm] $a:=\lim_{n \to \infty}\red{\;x\;}_n\,.$
[/mm]
> Jedenfalls wenn ich es voraussetze,
Du benutzt NUR die Voraussetzung [mm] $x_n \to [/mm] a$!
> weiß ich ja, dass wenn
> [mm](a_n)[/mm] konvergiert, gibt es ein [mm]N_1 \in \IN,[/mm] sodass [mm]|a_n[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
Da gehört [mm] $|\red{x}_n-a|$ [/mm] hin!
> [mm]\forall n>N_1[/mm]
> und es gibt auch ein [mm]N_2 \in \IN[/mm]
Es gibt auch [mm] $\pi, \sqrt{7}\,,$ [/mm] Äpfel und Birnen - das ist so eine zusammenhangslose
Feststellung! Was ist an dem [mm] $N_2$ [/mm] interessant - also welche Zusatzinfos
verschweigst Du?
> Also folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a+ x_N_2[/mm] -a + ... + [mm]x_n[/mm]
> - a)| [mm]\le[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a)|[/mm] + [mm]\bruch{1}{n} |(x_N_2[/mm]
> -a + ... + [mm]x_n[/mm] - a)|
??
Ich mach's "grob": Sei zu gegebenem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ das [mm] $N_1$ [/mm] so, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;\;\;\;|x_n-a| \le \frac{\epsilon}{2} \text{ für alle }n \ge N_1\,.$$ [/mm]
Dann folgt für $n [mm] \ge N_1$
[/mm]
[mm] $$|a_n-a|=... \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1-1}|\red{x}_k-a|+\frac{1}{n}\sum_{k=N_1}^{n}|\red{x}_k-a|\equiv: \frac{1}{n}{\sum}_1+\frac{1}{n}{\sum}_{2}$$
[/mm]
Ich behaupte nun: [mm] ${\sum}_2=\sum_{k=N_1}^n |\red{x}_k-a| \le n*\tfrac{\epsilon}{2}$ [/mm] folgt wegen [mm] $(\star)$ [/mm] - kannst Du
das beweisen? Was bringt das?
[mm] ${\sum}_{1}$ [/mm] ist endlich, also was passiert mit [mm] $\frac{1}{n}{\sum}_1$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Was bringt das insgesamt, wenn man o.E. [mm] $N_1 \le [/mm] n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen läßt?
> Bei (c) sehe ich nicht wirklich durch...
>
> Also [mm](x_k)[/mm] soll 0 sein, wenn es
Siehst Du: Alleine an so schwammigen Formulierungen merkt man, dass Du
da schon irgendwo ein Verständnisproblem hast:
Dieses "es" ist der Index, also das [mm] $k\,.$ [/mm] Wie sieht denn die Folge aus?
Was ist [mm] $x_7$? [/mm] Was ist [mm] $x_1$? [/mm] Was ist [mm] $x_{10}$? [/mm] Was ist [mm] $x_{100}$?
[/mm]
Was ist [mm] $x_{999}$? [/mm] Was ist [mm] $x_{1000}$?
[/mm]
> keine Zehnerpotenz ist und
> m, wenn es eine ist.
>
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] -> 0.
>
> Das wars dann auch... :(
Die Folge ist unbeschränkt, weil Du, wenn ich's mal nicht ganz
mathematisch ausdrücken will, an eine 1 beliebig viele Nullen
hängen kannst:
[mm] $1000=10^3$ [/mm] liefert [mm] $x_{10^3}=3\,,$ [/mm] und [mm] $1000000$=10^6$ [/mm] liefert [mm] $x_{10^6}=6$ [/mm] etc. pp...
Was ist also [mm] $x_{10^k}$?
[/mm]
Nicht ganz trivial ist, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gilt. (Beachte, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] divergiert!)
Dazu habe ich Dir einen Hinweis gegeben. Um diesen etwas zu
verdeutlichen:
Betrachten wir mal [mm] $a_{1784}=\frac{1}{1784}*\sum_{k=1}^{1784} x_k\,.$
[/mm]
Es gilt [mm] $10^3 \le [/mm] 1784 < [mm] 10^4\,.$ [/mm] Die [mm] $x_k$ [/mm] für $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 1784$ sind fast beständig
Null, bis auf Ausnahme der [mm] $x_k$ [/mm] mit Index [mm] $k=10^1=10\,,$ $k=10^2=100$ [/mm] und [mm] $k=10^3=1000\,.$
[/mm]
Daher folgt
[mm] $$a_{1784}=\frac{1}{1784}(1+2+3)=\frac{1}{1784}*\frac{3}{2}*(3+1)...$$
[/mm]
Interessant ist hier:
[mm] $10^\red{3} \le [/mm] 1784 < [mm] 10^4$ [/mm] liefert
[mm] $$a_{1784}=\frac{1}{1784}*\frac{3}{2}*(3+1) \le \frac{1}{10^\red{3}}*\frac{\red{3}}{2}(\red{3}+1)\,.$$
[/mm]
Zudem ist interessant:
Ist $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so gibt es genau ein $m [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit
[mm] $$10^m \le [/mm] n < [mm] 10^{m+1}\,,$$
[/mm]
(warum?) und wenn [mm] $m=m(n)\,$ [/mm] dieses zuvorgenannte ist, dann gilt
$$m(n) [mm] \to \infty \text{ bei }n \to \infty\,.$$
[/mm]
P.S. Wenn dies erlaubt ist, so könnte man hier auch mit dem Logarithmus
arbeiten anstatt der genannten [mm] $m\,$'s [/mm] (besser gesagt: Wir könnten die
$m=m(n)$ näher spezifieren)! Aber das müssen wir nicht, und ich gehe mal
davon aus, dass ihr den Logarithmus hier noch nicht anwenden dürft. Man
braucht ihn aber hier an der Stelle auch noch nicht wirklich...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 29.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> > Also zur Teilaufgabe (a) hab ich jetzt viel verstanden, nur
> > am Ende hakt es etwas...
> >
> > Sei [mm](x_n)[/mm] konvergent, soll ich zeigen, dass auch [mm]a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> > konvergiert und gegen was.
> >
> > [mm]x_n[/mm] -> a und [mm]a_n[/mm] -> a, also beide Folgen konvergieren gegen
> > den gleichen Grenzwert.
>
> der Deutlichkeit halber schreibe: Wir definieren [mm]a:=\lim_{n \to \infty}x_n[/mm]
> und zeigen: [mm]a_n \to a[/mm]!
>
> >
> > [mm]a_n:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} (x_1[/mm]
> > + ... [mm]x_n)[/mm]
> >
> > Jetzt muss ich /varepsilon bestimmen. Dazu benutze ich [mm]|a_n[/mm]
> > - a| und es folgt:
> >
> > [mm]|a_n[/mm] - a| = [mm]|\bruch{1}{n} (x_1[/mm] + ... [mm]x_n)[/mm] - a|
> >
> > = [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ... [mm]x_n[/mm] - a)|
> >
> > was mich zur Summe
> >
> > [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - a) bringt.
> >
> >
> > Hier erstmal die Frage, kann ich einfach so voraussetzen,
> > dass [mm](a_n)[/mm] gegen den gleichen Grenzwert wie [mm](x_n)[/mm]
>
> Das machst Du nicht: Du WEIßT, dass [mm]x_n \to a\,.[/mm] Für die
> Folge [mm](a_n)_n[/mm] willst
> Du nun von einer gewissen Zahl, nennen wir sie zunächst
> mal [mm]g\,,[/mm] nachweisen,
> dass sie der Grenzwert dieser Folge ist. D.h.:
> "Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]N=N_\epsilon[/mm] mit
> [mm]|a_n-a| \le \epsilon \text{ für alle }n \ge N\,.\grqq[/mm]
> ist
> zu beweisen. Hättest Du nun keine Vermutung für [mm]g\,,[/mm] so
> wird das eventuell
> sehr schwer (Du kannst ja nicht alle [mm]g \in \IR[/mm]
> durchlaufen) - und man
> müßte die Konvergenz von [mm](a_n)_n[/mm] eventuell anders
> beweisen.
>
> Wir zeigen aber nun, dass oben [mm]g:=a=\lim_{n \to \infty}\red{x}_n\,[/mm]
> das Gewünschte erzielt!
>
> > konvergiert? Bei vielen Musterlösungen wurde dies so
> > gemacht aber ich soll es ja eigentich beweisen oder?
>
> Wie gesagt: Das machst Du nicht - Du schaust Dir vielmehr
> oben an, was
> mit [mm]|a_n-a|\,[/mm] passiert, wobei [mm]a:=\lim_{n \to \infty}\red{\;x\;}_n\,.[/mm]
>
> > Jedenfalls wenn ich es voraussetze,
>
> Du benutzt NUR die Voraussetzung [mm]x_n \to a[/mm]!
>
> > weiß ich ja, dass wenn
> > [mm](a_n)[/mm] konvergiert, gibt es ein [mm]N_1 \in \IN,[/mm] sodass [mm]|a_n[/mm] -
> a| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Da gehört [mm]|\red{x}_n-a|[/mm] hin!
>
> > [mm]\forall n>N_1[/mm]
> > und es gibt auch ein [mm]N_2 \in \IN[/mm]
>
> Es gibt auch [mm]\pi, \sqrt{7}\,,[/mm] Äpfel und Birnen - das ist
> so eine zusammenhangslose
> Feststellung! Was ist an dem [mm]N_2[/mm] interessant - also welche
> Zusatzinfos
> verschweigst Du?
Es existiert zudem [mm] N_2 \in \IN, [/mm] sodass [mm] |x_i [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \forall n>N_2
[/mm]
>
> > Also folgt:
> >
> > [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a+ x_N_2[/mm] -a + ... + [mm]x_n[/mm]
> > - a)| [mm]\le[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a)|[/mm] + [mm]\bruch{1}{n} |(x_N_2[/mm]
> > -a + ... + [mm]x_n[/mm] - a)|
>
> ??
>
> Ich mach's "grob": Sei zu gegebenem [mm]\epsilon > 0[/mm] das [mm]N_1[/mm]
> so, dass
> [mm](\star)\;\;\;\;\;\;|x_n-a| \le \frac{\epsilon}{2} \text{ für alle }n \ge N_1\,.[/mm]
Wieso kommt hier " < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] " zum Einsatz und nicht einfach nur < [mm] \varepsilon
[/mm]
> Dann folgt für [mm]n \ge N_1[/mm]
> [mm]|a_n-a|=... \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1-1}|\red{x}_k-a|+\frac{1}{n}\sum_{k=N_1}^{n}|\red{x}_k-a|\equiv: \frac{1}{n}{\sum}_1+\frac{1}{n}{\sum}_{2}[/mm]
>
> Ich behaupte nun: [mm]{\sum}_2=\sum_{k=N_1}^n |\red{x}_k-a| \le n*\tfrac{\epsilon}{2}[/mm]
> folgt wegen [mm](\star)[/mm] - kannst Du
> das beweisen? Was bringt das?
Da ich noch nie [mm] {\sum}_1 [/mm] bzw [mm] {\sum}_2 [/mm] gesehen habe, fällt mir das gerade sehr schwer... Google hilft mir leider auch nicht weiter mit einer Erklärung.
Wäre schön, wenn du mir dieses Summenzeichen(?) erklären könntest.
>
> [mm]{\sum}_{1}[/mm] ist endlich, also was passiert mit
> [mm]\frac{1}{n}{\sum}_1[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]?
>
> Was bringt das insgesamt, wenn man o.E. [mm]N_1 \le n \to \infty[/mm]
> laufen läßt?
Aufgabenteil (c) guck ich mir jetzt nochmal in Ruhe an...
Danke auf jeden Fall für deine Mühen. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du benutzt NUR die Voraussetzung [mm]x_n \to a[/mm]!
> >
> > > weiß ich ja, dass wenn
> > > [mm](a_n)[/mm] konvergiert, gibt es ein [mm]N_1 \in \IN,[/mm] sodass [mm]|a_n[/mm] -
> > a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> > Da gehört [mm]|\red{x}_n-a|[/mm] hin!
> >
> > > [mm]\forall n>N_1[/mm]
> > > und es gibt auch ein [mm]N_2 \in \IN[/mm]
>
> >
> > Es gibt auch [mm]\pi, \sqrt{7}\,,[/mm] Äpfel und Birnen - das ist
> > so eine zusammenhangslose
> > Feststellung! Was ist an dem [mm]N_2[/mm] interessant - also
> welche
> > Zusatzinfos
> > verschweigst Du?
>
> Es existiert zudem [mm]N_2 \in \IN,[/mm] sodass [mm]|x_i[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm] [mm]\forall n>N_2[/mm]
Du meinst [mm] $\forall \red{\;i\;}>N_2$... [/mm] aber:
Das [mm] $N_2$ [/mm] macht doch keinen wirklichen Sinn - was willst Du damit? Ich habe
- im Wesentlichen - diese Eigenschaft auf [mm] $N_1$ [/mm] übertragen.
> >
> > > Also folgt:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a+ x_N_2[/mm] -a + ... + [mm]x_n[/mm]
> > > - a)| [mm]\le[/mm]
> > > [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a)|[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n} |(x_N_2[/mm]
> > > -a + ... + [mm]x_n[/mm] - a)|
> >
> > ??
> >
> > Ich mach's "grob": Sei zu gegebenem [mm]\epsilon > 0[/mm] das [mm]N_1[/mm]
> > so, dass
> > [mm](\star)\;\;\;\;\;\;|x_n-a| \le \frac{\epsilon}{2} \text{ für alle }n \ge N_1\,.[/mm]
>
> Wieso kommt hier " < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] " zum Einsatz
> und nicht einfach nur < [mm]\varepsilon[/mm]
Das ist nur "Schönschreiberei", damit wir am Ende $< [mm] \epsilon$ [/mm] rausbekommen.
Aber einfach, damit es mal logisch klar wird: Sei $k > [mm] 0\,.$ [/mm] Wenn es zu jedem
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N(\epsilon)$ [/mm] mit
[mm] $$|x_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon \text{ für alle }n \ge N(\epsilon)$$
[/mm]
gibt, dann gibt es auch, wenn [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgegeben ist, zu [mm] $\epsilon':=k*\epsilon$ [/mm] (dann ist ja [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$)
ein [mm] $N(\epsilon')$ [/mm] mit
[mm] $$|x_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon' \text{ für alle }n \ge N(\epsilon')\,.$$
[/mm]
Ob ich bei dem [mm] $N(\epsilon')$ [/mm] die Abhängigkeit nun durch [mm] $N=N(\epsilon)$ [/mm] oder [mm] $N=N(\epsilon')$ [/mm] betone,
ist dabei egal, denn das $k > [mm] 0\,$ [/mm] bleibt ja im Folgenden stets fest.
Im Endeffekt wird's also bei solchen Beweisen egal sein, ob Du
[mm] $$|a_n-g| [/mm] < [mm] \epsilon \text{ für alle }n \ge [/mm] N$$
oder
[mm] $$|a_n-g| [/mm] < [mm] k*\epsilon \text{ für alle }n \ge [/mm] N$$
rausbekommst - sofern denn $k > [mm] 0\,$ [/mm] dabei KONSTANT ist (insbesondere
unabhängig von [mm] $n\,$)!!
[/mm]
Und ich habe auch schon was anderes hier im Forum schon oft betont:
Die Aussagen
(i) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N:\;\;|a_n-g| \le \epsilon$
[/mm]
(ii) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \red{\;>\;} N:\;\;|a_n-g| \red{\;<\;} \epsilon$
[/mm]
(iii) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \red{\;>\;} N:\;\;|a_n-g| \le \epsilon$
[/mm]
(iv) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N:\;\;|a_n-g| \red{\;<\;} \epsilon$
[/mm]
sind einander äquivalent! Es ist also egal, mit welcher von diesen Du die
Konvergenz einer Folge beweist!
Beachte allerdings: Du darfst NICHT [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ durch [mm] $\epsilon \ge [/mm] 0$ ersetzen!!
> > Dann folgt für [mm]n \ge N_1[/mm]
> > [mm]|a_n-a|=... \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1-1}|\red{x}_k-a|+\frac{1}{n}\sum_{k=N_1}^{n}|\red{x}_k-a|\equiv: \frac{1}{n}{\sum}_1+\frac{1}{n}{\sum}_{2}[/mm]
>
> >
> > Ich behaupte nun: [mm]{\sum}_2=\sum_{k=N_1}^n |\red{x}_k-a| \le n*\tfrac{\epsilon}{2}[/mm]
> > folgt wegen [mm](\star)[/mm] - kannst Du
> > das beweisen? Was bringt das?
>
> Da ich noch nie [mm]{\sum}_1[/mm] bzw [mm]{\sum}_2[/mm] gesehen habe, fällt
> mir das gerade sehr schwer... Google hilft mir leider auch
> nicht weiter mit einer Erklärung.
> Wäre schön, wenn du mir dieses Summenzeichen(?)
> erklären könntest.
Das sind einfach Variablen, Du kannst sie auch [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] nennen:
[mm] $$S_1={\Sigma}_1:=\sum_{k=1}^{N_1-1} |\red{x}_k-a|$$
[/mm]
und
[mm] $$S_2={\Sigma}_2:=\sum_{k=N_1}^{n} |\red{x}_k-a|\,.$$
[/mm]
Es ist nicht ungewöhnlich, Summen mit [mm] ${\Sigma}_{\text{Index}}$ [/mm] abzukürzen, einfach,
um sich dran zu erinneren, dass da eine Summe steht.
> > [mm]{\sum}_{1}[/mm] ist endlich, also was passiert mit
> > [mm]\frac{1}{n}{\sum}_1[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]?
> >
> > Was bringt das insgesamt, wenn man o.E. [mm]N_1 \le n \to \infty[/mm]
> > laufen läßt?
Ich frag' das jetzt mal anders: Wieso wirst Du ein [mm] $N_2$ [/mm] finden, so dass
[mm] $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\red{x}_k-a| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2}\text{ für alle }n \ge N_2\text{ ?}$$
[/mm]
> Aufgabenteil (c) guck ich mir jetzt nochmal in Ruhe an...
>
> Danke auf jeden Fall für deine Mühen.
Gerne!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 29.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> > > Du benutzt NUR die Voraussetzung [mm]x_n \to a[/mm]!
> > >
> > > > weiß ich ja, dass wenn
> > > > [mm](a_n)[/mm] konvergiert, gibt es ein [mm]N_1 \in \IN,[/mm] sodass [mm]|a_n[/mm] -
> > > a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> > >
> > > Da gehört [mm]|\red{x}_n-a|[/mm] hin!
> > >
> > > > [mm]\forall n>N_1[/mm]
> > > > und es gibt auch ein [mm]N_2 \in \IN[/mm]
>
> >
> > >
> > > Es gibt auch [mm]\pi, \sqrt{7}\,,[/mm] Äpfel und Birnen - das ist
> > > so eine zusammenhangslose
> > > Feststellung! Was ist an dem [mm]N_2[/mm] interessant - also
> > welche
> > > Zusatzinfos
> > > verschweigst Du?
> >
> > Es existiert zudem [mm]N_2 \in \IN,[/mm] sodass [mm]|x_i[/mm] - a| <
> [mm]\varepsilon[/mm] [mm]\forall n>N_2[/mm]
>
> Du meinst [mm]\forall \red{\;i\;}>N_2[/mm]... aber:
> Das [mm]N_2[/mm] macht doch keinen wirklichen Sinn - was willst Du
> damit? Ich habe
> - im Wesentlichen - diese Eigenschaft auf [mm]N_1[/mm]
> übertragen.
>
> > >
> > > > Also folgt:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a+ x_N_2[/mm] -a + ... + [mm]x_n[/mm]
> > > > - a)| [mm]\le[/mm]
> > > > [mm]\bruch{1}{n} |(x_1[/mm] - a + ...+ [mm]x_N_1-a)|[/mm] +
> > [mm]\bruch{1}{n} |(x_N_2[/mm]
> > > > -a + ... + [mm]x_n[/mm] - a)|
> > >
> > > ??
> > >
> > > Ich mach's "grob": Sei zu gegebenem [mm]\epsilon > 0[/mm] das [mm]N_1[/mm]
> > > so, dass
> > > [mm](\star)\;\;\;\;\;\;|x_n-a| \le \frac{\epsilon}{2} \text{ für alle }n \ge N_1\,.[/mm]
> >
> > Wieso kommt hier " < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] " zum Einsatz
> > und nicht einfach nur < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Das ist nur "Schönschreiberei", damit wir am Ende [mm]< \epsilon[/mm]
> rausbekommen.
>
> Aber einfach, damit es mal logisch klar wird: Sei [mm]k > 0\,.[/mm]
> Wenn es zu jedem
> [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]N(\epsilon)[/mm] mit
> [mm]|x_n-a| < \epsilon \text{ für alle }n \ge N(\epsilon)[/mm]
>
> gibt, dann gibt es auch, wenn [mm]\epsilon > 0[/mm] vorgegeben ist,
> zu [mm]\epsilon':=k*\epsilon[/mm] (dann ist ja [mm]\epsilon' > 0[/mm])
> ein
> [mm]N(\epsilon')[/mm] mit
> [mm]|x_n-a| < \epsilon' \text{ für alle }n \ge N(\epsilon')\,.[/mm]
>
> Ob ich bei dem [mm]N(\epsilon')[/mm] die Abhängigkeit nun durch
> [mm]N=N(\epsilon)[/mm] oder [mm]N=N(\epsilon')[/mm] betone,
> ist dabei egal, denn das [mm]k > 0\,[/mm] bleibt ja im Folgenden
> stets fest.
>
> Im Endeffekt wird's also bei solchen Beweisen egal sein, ob
> Du
> [mm]|a_n-g| < \epsilon \text{ für alle }n \ge N[/mm]
> oder
> [mm]|a_n-g| < k*\epsilon \text{ für alle }n \ge N[/mm]
>
> rausbekommst - sofern denn [mm]k > 0\,[/mm] dabei KONSTANT ist
> (insbesondere
> unabhängig von [mm]n\,[/mm])!!
>
> Und ich habe auch schon was anderes hier im Forum schon oft
> betont:
> Die Aussagen
>
> (i) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N: \forall n \ge N:\;\;|a_n-g| \le \epsilon[/mm]
>
> (ii) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N: \forall n \red{\;>\;} N:\;\;|a_n-g| \red{\;<\;} \epsilon[/mm]
>
> (iii) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N: \forall n \red{\;>\;} N:\;\;|a_n-g| \le \epsilon[/mm]
>
> (iv) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N: \forall n \ge N:\;\;|a_n-g| \red{\;<\;} \epsilon[/mm]
>
> sind einander äquivalent! Es ist also egal, mit welcher
> von diesen Du die
> Konvergenz einer Folge beweist!
> Beachte allerdings: Du darfst NICHT [mm]\epsilon > 0[/mm] durch
> [mm]\epsilon \ge 0[/mm] ersetzen!!
>
> > > Dann folgt für [mm]n \ge N_1[/mm]
> > > [mm]|a_n-a|=... \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1-1}|\red{x}_k-a|+\frac{1}{n}\sum_{k=N_1}^{n}|\red{x}_k-a|\equiv: \frac{1}{n}{\sum}_1+\frac{1}{n}{\sum}_{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich behaupte nun: [mm]{\sum}_2=\sum_{k=N_1}^n |\red{x}_k-a| \le n*\tfrac{\epsilon}{2}[/mm]
> > > folgt wegen [mm](\star)[/mm] - kannst Du
> > > das beweisen? Was bringt das?
> >
> > Da ich noch nie [mm]{\sum}_1[/mm] bzw [mm]{\sum}_2[/mm] gesehen habe, fällt
> > mir das gerade sehr schwer... Google hilft mir leider auch
> > nicht weiter mit einer Erklärung.
> > Wäre schön, wenn du mir dieses Summenzeichen(?)
> > erklären könntest.
>
> Das sind einfach Variablen, Du kannst sie auch [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm]
> nennen:
> [mm]S_1={\Sigma}_1:=\sum_{k=1}^{N_1-1} |\red{x}_k-a|[/mm]
> und
> [mm]S_2={\Sigma}_2:=\sum_{k=N_1}^{n} |\red{x}_k-a|\,.[/mm]
>
> Es ist nicht ungewöhnlich, Summen mit
> [mm]{\Sigma}_{\text{Index}}[/mm] abzukürzen, einfach,
> um sich dran zu erinneren, dass da eine Summe steht.
>
> > > [mm]{\sum}_{1}[/mm] ist endlich, also was passiert mit
> > > [mm]\frac{1}{n}{\sum}_1[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]?
> > >
> > > Was bringt das insgesamt, wenn man o.E. [mm]N_1 \le n \to \infty[/mm]
> > > laufen läßt?
>
> Ich frag' das jetzt mal anders: Wieso wirst Du ein [mm]N_2[/mm]
> finden, so dass
> [mm]\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\red{x}_k-a| < \frac{\epsilon}{2}\text{ für alle }n \ge N_2\text{ ?}[/mm]
>
Also bei dem [mm] N_2 [/mm] hakt es gerad wirklich arg bei mir. Ich habe vor 2 Tagen ein Video gesehen zum Thema Cauchy... Da kam die Summe
[mm] \summe_{k=n}^{m} a_k [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mit m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge n_\varepsilon [/mm] vor.
Die Summe sagt mir, dass es zu jedem beliebig kleinen Epsilon eine Stelle [mm] n_\varepsilon [/mm] existiert [mm] \gdw [/mm] Reihe konvergiert.
Würde ich die hiermit in Zusammenhang bringen, wäre n hier doch mein [mm] N_1 [/mm] und m wäre doch mein [mm] N_2. [/mm]
Doch wieso ich genau [mm] N_2 [/mm] finde, dass gilt:
[mm] \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\red{x}_k-a| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2}\text{ für alle }n \ge N_2\text
[/mm]
weiß ich nicht. Wenn man eine Cauchy-Folge betrachtet, werden ihre Folgenglieder doch mit größerwerdenden n immer kleiner. Man wählt sich halt ein [mm] N_1 [/mm] und ein [mm] N_2 [/mm] und guckt, ob der Rest der Folge, der dazwischen liegt, kleiner ist, als dieses gewählte n. Denn wenn nicht, ist es ja keine konvergente Folge.
Findet man vllt deswegen immer ein [mm] N_2, [/mm] falls die Folge konvergiert?
>
> > Aufgabenteil (c) guck ich mir jetzt nochmal in Ruhe an...
> >
> > Danke auf jeden Fall für deine Mühen.
>
> Gerne!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Das sind einfach Variablen, Du kannst sie auch [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm]
> > nennen:
> > [mm]S_1={\Sigma}_1:=\sum_{k=1}^{N_1-1} |\red{x}_k-a|[/mm]
> >
> und
> > [mm]S_2={\Sigma}_2:=\sum_{k=N_1}^{n} |\red{x}_k-a|\,.[/mm]
> >
> > Es ist nicht ungewöhnlich, Summen mit
> > [mm]{\Sigma}_{\text{Index}}[/mm] abzukürzen, einfach,
> > um sich dran zu erinneren, dass da eine Summe steht.
> >
> > > > [mm]{\sum}_{1}[/mm] ist endlich, also was passiert mit
> > > > [mm]\frac{1}{n}{\sum}_1[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]?
> > > >
> > > > Was bringt das insgesamt, wenn man o.E. [mm]N_1 \le n \to \infty[/mm]
> > > > laufen läßt?
> >
> > Ich frag' das jetzt mal anders: Wieso wirst Du ein [mm]N_2[/mm]
> > finden, so dass
> > [mm]\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\red{x}_k-a| < \frac{\epsilon}{2}\text{ für alle }n \ge N_2\text{ ?}[/mm]
>
> >
>
> Also bei dem [mm]N_2[/mm] hakt es gerad wirklich arg bei mir. Ich
> habe vor 2 Tagen ein Video gesehen zum Thema Cauchy... Da
> kam die Summe
>
> [mm]\summe_{k=n}^{m} a_k[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] mit m [mm]\ge[/mm] n [mm]\ge n_\varepsilon[/mm]
> vor.
>
> Die Summe sagt mir, dass es zu jedem beliebig kleinen
> Epsilon eine Stelle [mm]n_\varepsilon[/mm] existiert [mm]\gdw[/mm] Reihe
> konvergiert.
> Würde ich die hiermit in Zusammenhang bringen, wäre n
> hier doch mein [mm]N_1[/mm] und m wäre doch mein [mm]N_2.[/mm]
> Doch wieso ich genau [mm]N_2[/mm] finde, dass gilt:
>
> [mm]\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\red{x}_k-a|[/mm] <
> [mm]\frac{\epsilon}{2}\text{ für alle }n \ge N_2\text[/mm]
>
> weiß ich nicht. Wenn man eine Cauchy-Folge betrachtet,
> werden ihre Folgenglieder doch mit größerwerdenden n
> immer kleiner.
was willst Du denn hier nun mit Cauchyfolgen? Wir benutzen nirgends eine
Cauchyfolgeneigenschaft!
[mm] $S_1$ [/mm] ist doch nur noch von [mm] $N_1$ [/mm] abhängig, welches in Abhängigkeit von
[mm] $\epsilon$ [/mm] gewählt wurde. Jedenfalls ist [mm] $S_1$ [/mm] unabhängig von [mm] $n\,,$ [/mm] und
daher konstant.
Daher folgt [mm] $\frac{1}{n}S_1 \to 0\,,$ [/mm] und zudem ist [mm] $S_1 [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] also bekommst
Du [mm] $\frac{1}{n}S_1 [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2$ [/mm] mit einem [mm] $N_2 \in \IN\,.$
[/mm]
Am Ende wählst Du dann [mm] $N:=\max\{N_1,\;N_2\}$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 29.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Jetzt habe ich mir hierzu mal ein paar Gedanken gemacht.
Also zeigen soll ich ja, ob aus der Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] eine Beschränktheit von [mm] (x_n) [/mm] folgt.
Dazu sei [mm] x_k [/mm] = 0, wenn k keine Zehnerpotenz ist und [mm] x_k [/mm] = m, wenn k eine Zehnerpotenz ist, also k = [mm] 10^m.
[/mm]
Wir gehen davon aus, dass [mm] a_n [/mm] -> 0.
> > Bei (c) sehe ich nicht wirklich durch...
> >
> > Also [mm](x_k)[/mm] soll 0 sein, wenn es
>
> Siehst Du: Alleine an so schwammigen Formulierungen merkt
> man, dass Du
> da schon irgendwo ein Verständnisproblem hast:
> Dieses "es" ist der Index, also das [mm]k\,.[/mm] Wie sieht denn
> die Folge aus?
> Was ist [mm]x_7[/mm]? Was ist [mm]x_1[/mm]? Was ist [mm]x_{10}[/mm]? Was ist
> [mm]x_{100}[/mm]?
> Was ist [mm]x_{999}[/mm]? Was ist [mm]x_{1000}[/mm]?
>
> > keine Zehnerpotenz ist und
> > m, wenn es eine ist.
> >
> > Die Folge [mm](a_n)[/mm] -> 0.
> >
> > Das wars dann auch... :(
>
> Die Folge ist unbeschränkt, weil Du, wenn ich's mal nicht
> ganz
> mathematisch ausdrücken will, an eine 1 beliebig viele
> Nullen
> hängen kannst:
>
> [mm]$1000=10^3$[/mm] liefert [mm]$x_{10^3}=3\,,$[/mm] und [mm]$1000000$=10^6$[/mm]
> liefert [mm]$x_{10^6}=6$[/mm] etc. pp...
>
> Was ist also [mm]x_{10^k}[/mm]?
Das sind alle Folgenglieder der Folge [mm] (x_n), [/mm] die nicht null sind.
>
> Nicht ganz trivial ist, dass [mm]a_n \to 0[/mm] gilt. (Beachte, dass
> [mm](x_n)_n[/mm] divergiert!)
> Dazu habe ich Dir einen Hinweis gegeben. Um diesen etwas zu
> verdeutlichen:
> Betrachten wir mal
> [mm]a_{1784}=\frac{1}{1784}*\sum_{k=1}^{1784} x_k\,.[/mm]
>
> Es gilt [mm]10^3 \le 1784 < 10^4\,.[/mm] Die [mm]x_k[/mm] für [mm]1 \le k \le 1784[/mm]
> sind fast beständig
> Null, bis auf Ausnahme der [mm]x_k[/mm] mit Index [mm]k=10^1=10\,,[/mm]
> [mm]k=10^2=100[/mm] und [mm]k=10^3=1000\,.[/mm]
>
> Daher folgt
>
> [mm]a_{1784}=\frac{1}{1784}(1+2+3)=\frac{1}{1784}*\frac{3}{2}*(3+1)...[/mm]
>
> Interessant ist hier:
> [mm]10^\red{3} \le 1784 < 10^4[/mm] liefert
> [mm]a_{1784}=\frac{1}{1784}*\frac{3}{2}*(3+1) \le \frac{1}{10^\red{3}}*\frac{\red{3}}{2}(\red{3}+1)\,.[/mm]
Wieso ist das so interessant? Weil es mir sagt, dass für größer werdendes n [mm] \in \IN [/mm] die Folge [mm] (a_n) [/mm] immer näher gegen 0 geht?
>
> Zudem ist interessant:
> Ist [mm]n \in \IN\,,[/mm] so gibt es genau ein [mm]m \in \IN_0[/mm] mit
> [mm]10^m \le n < 10^{m+1}\,,[/mm]
> (warum?) und wenn [mm]m=m(n)\,[/mm]
> dieses zuvorgenannte ist, dann gilt
> [mm]m(n) \to \infty \text{ bei }n \to \infty\,.[/mm]
Naja wenn es genau ein m [mm] \in N_0 [/mm] gibt mit [mm] 10^m \le [/mm] n < [mm] 10^{m+1} [/mm] ist ja eigentlich klar, dass jedes n [mm] \in \IN [/mm] sich zwischen zwei Zehnerpotenzen befindet.
Egal wie groß es ist. Das Beispiel n= 1784 kann man doch mit jeder Zahl n [mm] \in \IN [/mm] machen und man würde immer zu dieser Ungleichung kommen.
Da man hier unendlich große m´s einsetzen kann, kann man so auch dementsprechen die n [mm] \in \IN [/mm] unendlich groß wählen. Es wird immer eine Ungleichung gefunden, in der gilt, dass sich ein beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] zwischen zwei Zehnerpotenzen befindet. Deswegen gilt allgemein: m(n) [mm] \to \infty \text{ bei }n \to \infty\
[/mm]
Somit geht die Folge [mm] (a_n) [/mm] -> 0 für n-> [mm] \infty [/mm] aber die Folge [mm] (x_n) [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] für k-> [mm] \infty.
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich jetzt hier nicht ganz doof ausgedrückt...
> P.S. Wenn dies erlaubt ist, so könnte man hier auch mit
> dem Logarithmus
> arbeiten anstatt der genannten [mm]m\,[/mm]'s (besser gesagt: Wir
> könnten die
> [mm]m=m(n)[/mm] näher spezifieren)! Aber das müssen wir nicht,
> und ich gehe mal
> davon aus, dass ihr den Logarithmus hier noch nicht
> anwenden dürft. Man
> braucht ihn aber hier an der Stelle auch noch nicht
> wirklich...
Logarithmen hatten wir noch nicht. Falls du magst, kannst du mir ja mal kurz zeigen, wie das mit einem Logarithmus aussehen würde.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt habe ich mir hierzu mal ein paar Gedanken gemacht.
>
> Also zeigen soll ich ja, ob aus der Konvergenz von [mm](a_n)[/mm]
> eine Beschränktheit von [mm](x_n)[/mm] folgt.
genau; und das ist i.a. nicht der Fall, denn:
> Dazu sei [mm]x_k[/mm] = 0, wenn k keine Zehnerpotenz ist und [mm]x_k[/mm] =
> m, wenn k eine Zehnerpotenz ist , also k = [mm] 10^m.
[/mm]
mit [mm] $k=10^m\,.$
[/mm]
> Wir gehen davon aus, dass [mm]a_n[/mm] -> 0.
Nein, wir müssen zeigen, dass mit diesen [mm] $x_k$ [/mm] halt [mm] $a_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt!
> > > Bei (c) sehe ich nicht wirklich durch...
> > >
> > > Also [mm](x_k)[/mm] soll 0 sein, wenn es
> >
> > Siehst Du: Alleine an so schwammigen Formulierungen merkt
> > man, dass Du
> > da schon irgendwo ein Verständnisproblem hast:
> > Dieses "es" ist der Index, also das [mm]k\,.[/mm] Wie sieht denn
> > die Folge aus?
> > Was ist [mm]x_7[/mm]? Was ist [mm]x_1[/mm]? Was ist [mm]x_{10}[/mm]? Was ist
> > [mm]x_{100}[/mm]?
> > Was ist [mm]x_{999}[/mm]? Was ist [mm]x_{1000}[/mm]?
> >
> > > keine Zehnerpotenz ist und
> > > m, wenn es eine ist.
> > >
> > > Die Folge [mm](a_n)[/mm] -> 0.
> > >
> > > Das wars dann auch... :(
> >
> > Die Folge ist unbeschränkt, weil Du, wenn ich's mal nicht
> > ganz
> > mathematisch ausdrücken will, an eine 1 beliebig viele
> > Nullen
> > hängen kannst:
> >
> > [mm]$1000=10^3$[/mm] liefert [mm]$x_{10^3}=3\,,$[/mm] und [mm]$1000000$=10^6$[/mm]
> > liefert [mm]$x_{10^6}=6$[/mm] etc. pp...
> >
> > Was ist also [mm]x_{10^k}[/mm]?
>
> Das sind alle Folgenglieder der Folge [mm](x_n),[/mm] die nicht null
> sind.
Mit Ausnahme für [mm] $k=1=10^0\,.$ [/mm] Mir ging es aber drum, dass Du erkennst:
[mm] $$x_{10^k}=k \text{ für alle }k \in \IN_0\,.$$
[/mm]
> >
> > Nicht ganz trivial ist, dass [mm]a_n \to 0[/mm] gilt. (Beachte, dass
> > [mm](x_n)_n[/mm] divergiert!)
> > Dazu habe ich Dir einen Hinweis gegeben. Um diesen etwas zu
> > verdeutlichen:
> > Betrachten wir mal
> > [mm]a_{1784}=\frac{1}{1784}*\sum_{k=1}^{1784} x_k\,.[/mm]
> >
> > Es gilt [mm]10^3 \le 1784 < 10^4\,.[/mm] Die [mm]x_k[/mm] für [mm]1 \le k \le 1784[/mm]
> > sind fast beständig
> > Null, bis auf Ausnahme der [mm]x_k[/mm] mit Index [mm]k=10^1=10\,,[/mm]
> > [mm]k=10^2=100[/mm] und [mm]k=10^3=1000\,.[/mm]
> >
> > Daher folgt
> >
> >
> [mm]a_{1784}=\frac{1}{1784}(1+2+3)=\frac{1}{1784}*\frac{3}{2}*(3+1)...[/mm]
> >
> > Interessant ist hier:
> > [mm]10^\red{3} \le 1784 < 10^4[/mm] liefert
> > [mm]a_{1784}=\frac{1}{1784}*\frac{3}{2}*(3+1) \le \frac{1}{10^\red{3}}*\frac{\red{3}}{2}(\red{3}+1)\,.[/mm]
>
> Wieso ist das so interessant? Weil es mir sagt, dass für
> größer werdendes n [mm]\in \IN[/mm] die Folge [mm](a_n)[/mm] immer näher
> gegen 0 geht?
Ja: Das ist hier die Grundlage, um zu beweisen, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ folgt für die angegebenen [mm] $x_n\,.$
[/mm]
> >
> > Zudem ist interessant:
> > Ist [mm]n \in \IN\,,[/mm] so gibt es genau ein [mm]m \in \IN_0[/mm] mit
> > [mm]10^m \le n < 10^{m+1}\,,[/mm]
> > (warum?) und wenn [mm]m=m(n)\,[/mm]
> > dieses zuvorgenannte ist, dann gilt
> > [mm]m(n) \to \infty \text{ bei }n \to \infty\,.[/mm]
>
> Naja wenn es genau ein m [mm]\in N_0[/mm] gibt mit [mm]10^m \le[/mm] n <
> [mm]10^{m+1}[/mm] ist ja eigentlich klar, dass jedes n [mm]\in \IN[/mm] sich
> zwischen zwei Zehnerpotenzen befindet.
Genauer: Benutze
[mm] $$\IN=\bigcup_{k \in \IN_0} ([10^k,\;10^{k+1}) \cap \IN)\,,$$
[/mm]
wobei die Vereinigung rechterhand disjunkt ist!
Wobei ich das auch nicht so schlimm ansehe, dass Du das als "klar"
ansiehst. Aber wenn Dich jemand fragen würde, wieso das klar ist, dann
kommst Du in Erklärungsnot. Und die Gleichheit, die ich oben geschrieben
habe, sollte man strenggenommen auch beweisen!
> Egal wie groß es ist. Das Beispiel n= 1784 kann man doch
> mit jeder Zahl n [mm]\in \IN[/mm] machen und man würde immer zu
> dieser Ungleichung kommen.
> Da man hier unendlich große m´s einsetzen kann, kann man
> so auch dementsprechen die n [mm]\in \IN[/mm] unendlich groß
> wählen. Es wird immer eine Ungleichung gefunden, in der
> gilt, dass sich ein beliebiges n [mm]\in \IN[/mm] zwischen zwei
> Zehnerpotenzen befindet. Deswegen gilt allgemein: m(n) [mm]\to \infty \text{ bei }n \to \infty\[/mm]
Nein - die Logik ist andersrum: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] findest Du ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $10^m \le [/mm] n < [mm] 10^{m+1}\,,$
[/mm]
und mit wachsendem [mm] $n\,$ [/mm] wächst auch das [mm] $m=m(n)\,.$ [/mm] Nur mal "grob":
Das passende [mm] $m\,$ [/mm] findest Du, wenn eine Zahl konkret gegeben ist, durch
die Anzahl ihrer Stellen, wenn Du von dieser 1 abziehst:
1784 besteht aus 4 Ziffern, also ist [mm] $m+1=4\,$ [/mm] und damit [mm] $m=4-1=3\,.$
[/mm]
> Somit geht die Folge [mm](a_n)[/mm] -> 0 für n-> [mm]\infty[/mm]
Das ist immer noch nicht bewiesen: Du musst im Prinzip dafür noch zeigen:
[mm] $$\frac{\tfrac{m}{2}(m+1)}{10^m} \to [/mm] 0 [mm] \;\;\;\text{ bei }\;\;\;m \to \infty\,.$$
[/mm]
> aber die Folge [mm](x_n)[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm] für k-> [mm]\infty.[/mm]
Nein - Du kannst nur sagen, dass die Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] unbeschränkt ist; gegen [mm] $\infty$ [/mm]
kann sie nicht streben, da sie auch unendlich viele Folgenglieder hat, die
gänzlich Null sind!
> Ich hoffe, ich habe mich jetzt hier nicht ganz doof
> ausgedrückt...
Du hast es auf jeden Fall falsch formuliert. Es kann durchaus sein, dass Du
"grob" sowas meintest wie: [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] hat eine Teilfolge, die gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht!
> > P.S. Wenn dies erlaubt ist, so könnte man hier auch mit
> > dem Logarithmus
> > arbeiten anstatt der genannten [mm]m\,[/mm]'s (besser gesagt:
> Wir
> > könnten die
> > [mm]m=m(n)[/mm] näher spezifieren)! Aber das müssen wir nicht,
> > und ich gehe mal
> > davon aus, dass ihr den Logarithmus hier noch nicht
> > anwenden dürft. Man
> > braucht ihn aber hier an der Stelle auch noch nicht
> > wirklich...
>
> Logarithmen hatten wir noch nicht. Falls du magst, kannst
> du mir ja mal kurz zeigen, wie das mit einem Logarithmus
> aussehen würde.
Naja, relativ einfach:
Wir suchen zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein $m [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit
[mm] $$10^m \le [/mm] n < [mm] 10^{m+1}\,.$$
[/mm]
Der Logarithmus [mm] $\ln$ [/mm] ist streng wachsend, wir können ihn auf diese Ungleichungskette
anwenden und alle Ungleichungszeichen bleiben erhalten, wobei wir auch
beachten, dass alle auftretenden Ausdrücke [mm] $>0\,$ [/mm] sind, und es folgt
[mm] $$\ln(10^m) \le \ln(n) [/mm] < [mm] \ln(10^{m+1})$$
[/mm]
Mit den Rechenregeln des [mm] $\ln$ [/mm] folgt
$$m [mm] \ln(10) \le \ln(n) [/mm] < (m+1) [mm] \ln(10)$$
[/mm]
und wegen [mm] $\ln(10) [/mm] > 0$ folgt
$$m [mm] \le \frac{\ln(n)}{\ln(10)} [/mm] < [mm] m+1\,.$$
[/mm]
Somit kann man [mm] $m:=[\ln(n)/\ln(10)]=[\log_{10}(n)]$ [/mm] definieren, wobei [mm] $[x]:=\max\{z \in \IZ:\;\;z \le x\}$ [/mm] die Gaußklammer
von $x [mm] \in \IR$ [/mm] bezeichne...
(Ich gebe zu: Für Schüler oder jemanden, der noch nicht viel mit dem
Logarithmus oder der Gaußklammer gearbeitet hat, vielleicht nicht ganz
so einfach - da Du den [mm] $\ln$ [/mm] noch nicht benutzen darfst, kann es sein,
dass es Dir auch nicht ganz so einfach erscheint wie mir!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 29.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Mit Ausnahme für [mm]k=1=10^0\,.[/mm] Mir ging es aber drum, dass Du erkennst:
> [mm]x_{10^k}=k \text{ für alle }k \in \IN_0\,.[/mm]
Na ich habe jetzt die [mm] \IN [/mm] nur ab 1 betrachtet.
> Das ist immer noch nicht bewiesen: Du musst im Prinzip
> dafür noch zeigen:
> [mm]\frac{\tfrac{m}{2}(m+1)}{10^m} \to 0 \;\;\;\text{ bei }\;\;\;m \to \infty\,.[/mm]
Um hier zu zeigen, dass die Folge gegen 0 geht, würde ich [mm] \bruch{m}{2}*(m+1) [/mm] ausmultiplizieren, [mm] \bruch{m^2}{n} [/mm] ausklammern und dann käme zum Schluss
[mm] \bruch{1+0}{\infty} [/mm] raus und das geht ja eindeutig gegen 0.
> aber die Folge [mm](x_n)[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm] für k-> [mm]\infty.[/mm]
>Nein - Du kannst nur sagen, dass die Folge [mm]{(x_n)}_n[/mm]
>unbeschränkt ist; gegen [mm]\infty[/mm]
> kann sie nicht streben, da sie auch unendlich viele
>Folgenglieder hat, die
>gänzlich Null sind!
Ok. Da muss ich wohl noch lernen, explizit die Fachausdrücke zu benutzen, damit es nicht zu Verwirrungen kommt.
Danke übrigens für die Erklärung mit dem Logarithmus. Das werde ich mir am Wochenende mal genauer angucken, da habe ich wieder etwas mehr Raum für andere Sachen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Mit Ausnahme für [mm]k=1=10^0\,.[/mm] Mir ging es aber drum, dass
> Du erkennst:
> > [mm]x_{10^k}=k \text{ für alle }k \in \IN_0\,.[/mm]
>
> Na ich habe jetzt die [mm]\IN[/mm] nur ab 1 betrachtet.
ich auch: [mm] $1=10^0\,,$ [/mm] also ist [mm] $x_1=x_{10^0}=0\,.$
[/mm]
>
> > Das ist immer noch nicht bewiesen: Du musst im Prinzip
> > dafür noch zeigen:
> > [mm]\frac{\tfrac{m}{2}(m+1)}{10^m} \to 0 \;\;\;\text{ bei }\;\;\;m \to \infty\,.[/mm]
>
> Um hier zu zeigen, dass die Folge gegen 0 geht, würde ich
> [mm]\bruch{m}{2}*(m+1)[/mm] ausmultiplizieren, [mm]\bruch{m^2}{n}[/mm]
??
> ausklammern und dann käme zum Schluss
>
> [mm]\bruch{1+0}{\infty}[/mm] raus und das geht ja eindeutig gegen
> 0.
Verstehe ich nicht:
Benutze [mm] $10^m=(1+9)^m \le [/mm] {m [mm] \choose 0}9^m [/mm] + {m [mm] \choose 1}9^{m-1}+{m \choose 2}9^{m-2}+{m \choose 3}9^3 \le [/mm] {m [mm] \choose 3}9^3$ [/mm] für $m [mm] \ge 3\,.$
[/mm]
Beachte: ${m [mm] \choose 3}=\frac{m*(m-1)(m-2)}{3!}=\frac{m(m-1)(m-2)}{6}$!
[/mm]
Rechne mal den Zähler ganz aus, dann hast Du ein Polynom vom Grad 3
in der Variablen [mm] $m\,$ [/mm] da stehen!
>
> > aber die Folge [mm](x_n)[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm] für k-> [mm]\infty.[/mm]
>
> >Nein - Du kannst nur sagen, dass die Folge [mm]{(x_n)}_n[/mm]
> >unbeschränkt ist; gegen [mm]\infty[/mm]
> > kann sie nicht streben, da sie auch unendlich viele
> >Folgenglieder hat, die
> >gänzlich Null sind!
>
> Ok. Da muss ich wohl noch lernen, explizit die
> Fachausdrücke zu benutzen, damit es nicht zu Verwirrungen
> kommt.
Okay... oder beschreibe das, was Du meinst, wirklich einigermaßen
präzise: "Man findet neben den Folgengliedern, die stets 0 sind, auch
welche, die nicht Null sind, und diese wachsen als Potenz von [mm] $10^k$ [/mm] gegen
[mm] $\infty$..." [/mm] oder sowas!
> Danke übrigens für die Erklärung mit dem Logarithmus.
> Das werde ich mir am Wochenende mal genauer angucken, da
> habe ich wieder etwas mehr Raum für andere Sachen.
Ich bin zwei Tage nicht da - aber es gibt sicher andere, die sich auch Deiner
Fragen annehmen können. Du solltest nur versuchen, nicht unbedingt
immer alles zu zitieren, sondern so, dass das Zitierte Bezug zu Deinen
Fragen hat. Ist aber nicht schlimm: Das ist nicht ganz so einfach, und für
Ungeübte sicher sogar eher schwer...
Gruß,
Marcel
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