Folge finden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Fr 06.12.2013 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Folge [mm] a_n [/mm] mit [mm] a_n \not= [/mm] 0, sodass [mm] \{ a_{n+1}/{a_n} \} [/mm] unbeschränkt ist und die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i*x^i [/mm] einen positiven Konvergenzradius besitzt |
Hi,
die Aufgabe ist für mich schwer zu verstehen, die folgen glieder [mm] a_{n+1}/a_{n} [/mm] sollen unbeschränkt sein => folge ist bestimmt divergent (?)
zum anderen muss der Konvergenzraidus also [mm] K=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{a_n}} [/mm] eine reelle Zahl liefern.
das heißt ja, dass die Folge einen Häufungspunkt haben muss z.b 1 (konvergente Teilfolge) und eine Teilfolge die bestimmt gegen [mm] -\inf [/mm] divergiert.
Aber wie kann eine solche explizit angeben?
Vielen Dank für Tipps!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie eine Folge [mm]a_n[/mm] mit [mm]a_n \not=[/mm] 0, sodass [mm]\{ a_{n+1}/{a_n} \}[/mm]
> unbeschränkt ist und die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i*x^i[/mm]
> einen positiven Konvergenzradius besitzt
> Hi,
>
> die Aufgabe ist für mich schwer zu verstehen, die folgen
> glieder [mm]a_{n+1}/a_{n}[/mm] sollen unbeschränkt sein => folge
> ist bestimmt divergent (?)
Nein. Das stimmt im allgemeinen nicht.
Die Folge (1,2,1,3,1,4,1,5,....) ist unbeschränkt, aber nicht bestimmt divergent.
>
> zum anderen muss der Konvergenzraidus also
> [mm]K=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{a_n}}[/mm]
> eine reelle Zahl liefern.
>
> das heißt ja, dass die Folge
Welche Folge ? ( [mm] \wurzel[n]{a_n}) [/mm] oder $ ( [mm] a_{n+1}/{a_n} [/mm] ) $ ?
> einen Häufungspunkt haben
> muss z.b 1 (konvergente Teilfolge) und eine Teilfolge die
> bestimmt gegen [mm]-\inf[/mm] divergiert.
> Aber wie kann eine solche explizit angeben?
Z.B.: [mm] a_n=n, [/mm] falls n gerade und [mm] a_n=1, [/mm] falls n ungerade
FRED
>
> Vielen Dank für Tipps!
>
> gruß
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 06.12.2013 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank für deine Antwort,
an die Beispielfolge habe ich auch schon gedacht
aber ich vertehe nicht warum die Reihe dann konvergiert
also [mm] a_n=\begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i*x^i [/mm]
wie kann ich beweisen das diese reihe konverigert?
gruß
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Hallo MrPan,
> an die Beispielfolge habe ich auch schon gedacht
> aber ich vertehe nicht warum die Reihe dann konvergiert
>
> also [mm]a_n=\begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i*x^i[/mm]
>
> wie kann ich beweisen das diese reihe konverigert?
Bestimm doch mal ihren Konvergenzradius. Das wärs dann schon.
Um sie zu verstehen, reicht es auch erstmal, einen Wert [mm] x\not=0 [/mm] zu finden, für den die Reihe konvergiert. Besser ist aber, gleich das ganze zu zeigen. 
Grüße
reverend
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