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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 07.06.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Sei [mm] z\in\IC. [/mm] Beweisen Sie:
[mm] \bruch{z^m}{m!} \to [/mm] 0. |
Hallo!
Komme bei dieser Fragestellung nicht richtig weiter.
Als Hinweis wurde uns noch folgendes mitgegeben:
| [mm] \bruch{z^m}{m!} [/mm] | [mm] \le \bruch{p_{0}^p_{0}}{p_{0}!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^m}
[/mm]
für alle [mm] m\ge p_{0} [/mm] > 2 |z|
Das müsste jedoch zuerst einmal gezeigt werden.
Stehe hier ein bisschen an, vielleicht hat jemand eine Lösungsidee für mich? Würde mich sehr freuen!
Mfg Sr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 So 07.06.2009 | | Autor: | Roli772 |
m und [mm] p_{0} [/mm] sind übrigens [mm] \in \IN
[/mm]
Mfg Sr.
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Hallo Roli,
zu dem Tipp fällt mir gerade auch nichts ein, aber ich habe eine schöne und kurze Alternative (wenn ihr die komplexe Exponentialfunktion schon eingeführt habt)
Es ist für alle [mm] $z\in\IC [/mm] \ \ \ \ [mm] \exp(z)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{z^m}{m!}$ [/mm] die Potenzreihendarstellung um 0 der Exponentialfunktion.
Sie hat Konvergenzradius [mm] $\infty$, [/mm] ist somit für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] konvergent.
Notwendige Bedingung für Reihenkovergenz ist, dass die Folge der Reihenglieder, also [mm] $\left(\frac{z^m}{m!}\right)_{m\in\IN}$ [/mm] Nullfolge ist ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 07.06.2009 | | Autor: | Roli772 |
Hi und danke für deine schnelle Antwort!
Nein haben wir leider noch nicht gelernt, aber damit siehts eigentlich ziehmlich einfach aus. Danke trotzdem für deine Mühe!
Lg Sr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 07.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> | [mm]\bruch{z^m}{m!}[/mm] | [mm]\le \bruch{p_{0}^p_{0}}{p_{0}!}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{2^m}[/mm]
> für alle [mm]m\ge p_{0}[/mm] > 2 |z|
>
> Das müsste jedoch zuerst einmal gezeigt werden.
>
> Stehe hier ein bisschen an, vielleicht hat jemand eine
> Lösungsidee für mich? Würde mich sehr freuen!
Verwende zuerst [m]|z|< \bruch{p_0}{2}[/m] und schätze ab. Dann musst du [m]\bruch{p_0}{k}\le 1\mbox{ für alle }k\ge p_0[/m] verwenden, um den Ausdruck weiter abzuschätzen. Dann steht der Hinweis da - und damit eigentlich schon die Behauptung.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:59 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Verwende zuerst [m]|z|< \bruch{p_0}{2}[/m] und schätze ab. Dann
> musst du [m]\bruch{p_0}{k}\le 1\mbox{ für alle }k\ge p_0[/m]
> verwenden, um den Ausdruck weiter abzuschätzen. Dann steht
> der Hinweis da - und damit eigentlich schon die
> Behauptung.
hm.. hab das mal probiert:
| [mm] \bruch{z^m}{m!} [/mm] | < [mm] \bruch{p_{0}^m}{m!}*\bruch{1}{2}
[/mm]
mit dem zweiten Hinweis komme ich jedoch nicht weiter.
Hab mir aber dann überlegt, dass ja m! [mm] \ge [/mm] p! [mm] *p^{m-p} [/mm] sein muss und damit weiter abgeschätzt, da [mm] \bruch{1}{m!} \le \bruch{1}{p!*p^{m-p}}, [/mm] also:
[mm] \bruch{p_{0}^m}{m!}*\bruch{1}{2} \le \bruch{p_{0}^m}{p!*p^{m-p}}*\bruch{1}{2}, [/mm] jedoch habe ich hier das problem, dass meine p's keine [mm] p_{0}'s [/mm] sind, oder ist das egal?
ansonsten wäre ich (nach kürzen) dem ganzen schon etwas näher:
[mm] \bruch{p^p}{p!}*\bruch{1}{2}. [/mm] Kann ich an dieser Stelle dann den zweiten Bruch mit ^m erweitern?
Danke für deine Hilfe!
Mfg Sr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 10.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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