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| Aufgabe | Sei 0<a<b<1, n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] c_{n}=\begin{cases} a^n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ b^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Zegen sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{c_{2n}}{c_{2n-1}} [/mm] ex. nicht in [mm] \IR
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] ist absolut konvergent.
c) Wenden sie das Quotientenkriterium aqn. Was stellen sie fest? |
Meine Ideen:
a) [mm] \bruch{c_{2n}}{c_{2n-1}}= \bruch{b^{2*n}}{a^{2n-1}}= \bruch{b*b^{2n-1}}{a^{2n-1}}= b*(\bruch{b}{a})^{2n-1}
[/mm]
[mm] \bruch{b}{a}>1 \Rightarrow (\bruch{b}{a})^{2n-1} [/mm] konvergiert nicht
[mm] \Rightarrow b*(\bruch{b}{a})^{2n-1} [/mm] konvergiert nicht
Stimmt das so?
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] ist absolut konvergent
z.z.: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|c_{n}| [/mm] konvergiert
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|c_{n}|=a^1+b^2+a^3+b^4+...=a^1+a^3+a^5+a^7+...+b^2+b^4+b^6+b^8+...
[/mm]
[mm] =...=a(1+a^2*(1+a^2*(1+a^2+...)))+b^2*(1+b^2*(1+b^2*(1+b^2*(1+....)))
[/mm]
und jetzt komme ich nicht weiter. Ein kleiner Hinweis würde mich erfreuen.
c) hab ich noch nicht versucht
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Huhu,
> Meine Ideen:
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> a) [mm]\bruch{c_{2n}}{c_{2n-1}}= \bruch{b^{2*n}}{a^{2n-1}}= \bruch{b*b^{2n-1}}{a^{2n-1}}= b*(\bruch{b}{a})^{2n-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{b}{a}>1 \Rightarrow (\bruch{b}{a})^{2n-1}[/mm]
> konvergiert nicht
> [mm]\Rightarrow b*(\bruch{b}{a})^{2n-1}[/mm] konvergiert nicht
>
> Stimmt das so?
alles prima.
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}[/mm] ist absolut konvergent
>
> z.z.: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|c_{n}|[/mm] konvergiert
Viel zu umständlich. Finde eine absolut konvergente Majorante, es gilt doch $a<b$ und damit auch [mm] $a^n \le b^n$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Ich habe [mm] b_{n}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^p} [/mm] konvergiert für p>1 gefunden. Kann ich das benutzen?
Es gilt doch:
[mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{b} [/mm] > 1 > b > a > 0
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Hallo,
> Ich habe [mm]b_{n}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^p}[/mm]
> konvergiert für p>1 gefunden. Kann ich das benutzen?
>
> Es gilt doch:
> [mm]\bruch{1}{a}[/mm] > [mm]\bruch{1}{b}[/mm] > 1 > b > a > 0
Und? Wie willst du das auf die Aufgabe anwenden?
Du hast doch den entscheidenden Tipp bekommen.
Die Majorante ist wohl eine geometrische Reihe, oder??
Welche?
Gruß
schachuzipus
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[mm] \summe_{n=1}^{\infty}c*q^n= \bruch{c*q}{1-q}
[/mm]
hier:
sei c=1 und [mm] d_{n}=b \Rightarrow |a_{n}| \le d_{n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}c*d_{n}^n= \bruch{c*d_{n}}{1-d_{n}}= \bruch{b}{1-b}
[/mm]
Stimmt das so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 05.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Leider habe ich bislang keine Antwort auf meine Frage bekommen. Wenn da doch noch jemand schauen könnte, ob meine Lösung richtig ist, würde ich mich sehr freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b) kannst Du so erledigen:
es ist
$\wurzel[n]{|c_n|}}=\begin{cases} a, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ b, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases} $
Damit ist lim sup \wurzel[n]{|c_n|}=b<1
Also ist \sum c_n (absolut) konvergent
FRED
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