Folge mit komplex Zahlen (i) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die Folge [mm] (2-i)^{n}\over (2+i)^{n} [/mm] konvergent? Besitzt [mm] a_{n} [/mm] eine konvergente Teilfolge? |
huhu,
also wenn ich hier mit dem Wurzelkriterium drangehe, krieg ich ja nur das ^n weg, der term an sich bleibt ja. Oben steht ja das konjugierte z und unten z halt, jeweils in der form a + ib und alles in betragstrichen. Meine Frage(n): darf man das konjugierte z durch z teilen? Wenn ja, ist das Ergebnis 1? dann wäre die folge divergent nach dem Wurzelkriterium oder? Bzgl. einer konvergenten Teilfolge hab ich leider nur geraten und gesagt, dass es unendlich viele Teilfolgen gibt, da man ja durch den Betrag auf dem Einheitskreis bleibt und damit wäre jeder Punkt auf dem Einheitskreis ein Häufuungspunkt oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 04.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Evelyn!
Wie willst Du hier mit dem Wurzelkriterium rechnen? Dieses lässt sich doch nur bei Reihen anwenden.
Die Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] q^n$ [/mm] ist Konvergent (und zwei eine Nullfolge) für $|q| \ < \ 1$ .
Bestimme hier also zunächst den Betrag von $q \ = \ [mm] \bruch{2-i}{2+i}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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huhu Loddar,
wäre der Betrag von q nicht nach meiner argumentation mit dem teilen des konjugierten z teils durch z nicht dann 1? sprich 1 als basis, damit wäre die Folge konvergent gegen 1.
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Hallo,
> huhu Loddar,
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> wäre der Betrag von q nicht nach meiner argumentation mit
> dem teilen des konjugierten z teils durch z nicht dann 1?
Ja, es ist [mm] $\left|\frac{2-i}{2+i}\right|=1$
[/mm]
> sprich 1 als basis, damit wäre die Folge konvergent gegen
> 1.
Nein, 1 ist doch nicht Basis. Das ist doch wohl [mm] $\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$ [/mm] oder was hast du konkret raus für die Darstellung von [mm] $\frac{2-i}{2+i}$ [/mm] als $a+bi$ ?
Gruß
schachuzipus
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ach woops stimmt, die Darstellung hab ich ja raus. Ist diese Basis <1 ? bin irritert wegen dem Imaginäranteil.
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Hallo nochmal,
> ach woops stimmt, die Darstellung hab ich ja raus. Ist
> diese Basis <1 ?
Oh wei, in den komplexen Zahlen gibt es keine Anordnung.
Du kannst also 2 komplexe Zahlen nicht in ihrer Größe vergleichen, allenfalls ihre Beträge, die ja reell sind...
> bin irritert wegen dem Imaginäranteil.
Gruß
schachuzipus
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also kann ich keine aussage zur Konvergenz dieser Folge machen?
Ich kenn nur die Fälle: Basis nenn ich ma x
x =1 oder x = 0 => Konvergenz
oder
|x|>1 => Divergenz
oder
0<|x|<1 => Konvergenz
|x| wäre 1, aber x als Basis nicht angeordnet. Also keine Aussage machbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> also kann ich keine aussage zur Konvergenz dieser Folge
> machen?
>
> Ich kenn nur die Fälle: Basis nenn ich ma x
>
> x =1 oder x = 0 => Konvergenz
>
> oder
>
> |x|>1 => Divergenz
>
> oder
>
> 0<|x|<1 => Konvergenz
>
> |x| wäre 1, aber x als Basis nicht angeordnet. Also keine
> Aussage machbar?
Hallo,
die einzelnen Folgenglieder hoppeln munter um den Einheitskreis herum und füllen ihn allmählich immer dichter aus, sodass jeder Punkt des Einheitskreises in seiner Epsilon-Umgebung unendlich viele Folgenglieder besitzt (wegen der Frage nach konvergenten Teilfolgen).
Gruß Abakus
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huhu danke für die Antwort ;)
LG eve :)
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