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| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge stetiger Funktionen [mm] f_k: \IR \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] f_k(x):=\bruch{1}{k}1_{[0,k]}. [/mm] Bestimmen Sie die punktweise gebildete Grenzfunktion f der Folge [mm] f_k [/mm] und berechnen Sie
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{\IR}{f_k(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{\IR}{f(x) dx}
[/mm]
Warum kann man den Satz über majorisierte Konvergenz nicht anwenden? |
hallo,
für die Grenzfunktion bekomme ich:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}1_{[0,k]}=0
[/mm]
dann berechne ich:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{k}{\bruch{1}{k}1_{[0,k]} dx}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}*k=1
[/mm]
[mm] \integral_{\IR}{0 dx}=0
[/mm]
den satz über major. Konv. kann ich nicht anwenden, da es keine Majorante gibt...
[mm] f_k(x):=\bruch{1}{k}1_{[0,k]}, [/mm] das ist doch eine treppenfunktion, ich kann also auch schreiben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}1_{[0,k]}, [/mm] das ist die harm. Reihe, sie konvergiert nicht...
irgendwie will ich die harm. reihe als argument benutzen, warum es keine majorante gibt.
Ok, ich bin mir nicht sicher,ob ich das formal ansatzweise richtig gemacht habe.
über ein paar hinweise würde ich mich daher sehr freuen
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten Sie die Folge stetiger Funktionen [mm]f_k: \IR \to \IR[/mm]
> gegeben durch [mm]f_k(x):=\bruch{1}{k}1_{[0,k]}.[/mm] Bestimmen Sie
> die punktweise gebildete Grenzfunktion f der Folge [mm]f_k[/mm] und
> berechnen Sie
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{\IR}{f_k(x) dx}[/mm] und
> [mm]\integral_{\IR}{f(x) dx}[/mm]
>
> Warum kann man den Satz über majorisierte Konvergenz nicht
> anwenden?
>
> hallo,
>
> für die Grenzfunktion bekomme ich:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}1_{[0,k]}=0[/mm]
das ist korrekt, sollte aber bewiesen werden. Wie macht man das? Naja:
Man betrachtet
[mm] $$f_k$$
[/mm]
an der Stelle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann gilt sicherlich
[mm] $$|f_k(x)| \le 1/k\,,$$
[/mm]
wie man durch Fallunterscheidung erkennt (falls $x [mm] \in [0,k]\,,$ [/mm] dann ist [mm] $|f_k(x)|=1/k \le 1/k\,,$ [/mm] und falls $x [mm] \in \IR \setminus [0,k]\,,$ [/mm] dann ist [mm] $|f_k(x)|=0 \le 1/k\,$).
[/mm]
> dann berechne ich:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{k}{\bruch{1}{k}1_{[0,k]} dx}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}*k=1[/mm]
>
> [mm]\integral_{\IR}{\underbrace{0}_{\blue{=f(x)=\lim_{k \to \infty}f_k(x)}} dx}=0[/mm]
>
> den satz über major. Konv. kann ich nicht anwenden, da es
> keine Majorante gibt...
>
> [mm]f_k(x):=\bruch{1}{k}1_{[0,k]},[/mm] das ist doch eine
> treppenfunktion, ich kann also auch schreiben:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}1_{[0,k]},[/mm] das ist die
> harm. Reihe, sie konvergiert nicht...
>
> irgendwie will ich die harm. reihe als argument benutzen,
> warum es keine majorante gibt.
Die Idee ist gut, aber leider nur teilweise richtig. [mm] $f_k(x)$ [/mm] selbst ist eine Treppenfunktion (die nur endlich viele Werte annimmt - genauer: zwei, nämlich [mm] $0\,$ [/mm] und [mm] $1/k\,$), [/mm] und das, was Du mit
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}1_{[0,k]}$$
[/mm]
meinst, ist nicht [mm] $f_k\,.$
[/mm]
Wenn ich es interpretieren sollte, dann müsste ich sagen:
Wenn es eine solche Majorante gibt, dann muss sie eine der von Dir gegebenen "Linearkombination" - sofern man die [mm] $f_k$ [/mm] einschränkt (genauer: siehe die folgende "Minorante"), "stets übertreffen". Dabei ist die "Minorante" gegeben als
$$x [mm] \mapsto \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}1_{[\red{k-1,\;k}]}(x)\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass die [mm] $f_k$ [/mm] in dieser Linearkombination nur auf $[k-1,k] [mm] \subseteq [/mm] [0,k]$ betrachtet werden!)
Was genau ich damit meine und wieso das so ist, erkennst Du hoffentlich im Folgenden:
Verfolge mal Deinen Ansatz:
Wir nehmen an, dass die Folge [mm] $(f_k)_k$ [/mm] eine konvergente (im [mm] $L^1$-Sinne) [/mm] integrierbare Majorante hätte. Sei [mm] $g(x)\,$ [/mm] diese Funktion und o.E. sei $g [mm] \ge [/mm] 0$.
Dann muss $g(x) [mm] \ge f_k(x)$ [/mm] für alle [mm] $k\,$ [/mm] und alle [mm] $x\,$ [/mm] gelten. Insbesondere muss also
$$g(x) [mm] \ge 1=f_1(x) \text{ für alle }x \in [/mm] [0,1]$$
$$g(x) [mm] \ge 1/2=f_2(x) \text{ für alle }x \in [0,2],\text{ insbesondere auch auf }[1,2] \subseteq [/mm] [0,2]$$
$$g(x) [mm] \ge 1/3=f_3(x) \text{ für alle }x \in [0,3],\text{ insbesondere auch auf }[2,3] \subseteq [/mm] [0,3]$$
$$g(x) [mm] \ge 1/4=f_4(x) \text{ für alle }x \in [0,4],\text{ insbesondere auch auf }[3,4] \subseteq [/mm] [0,4]$$
.
.
.
gelten.
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] muss also
[mm] $$\int_{0}^N [/mm] g(x) dx [mm] \ge \sum_{k=0}^{N-1} \int\limits_k^{k+1} f_k(x)dx=\sum_{k=0}^{N-1} \int_{k}^{k+1} [/mm] 1/(k+1) [mm] dx=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}(k-(k-1))=\sum_{k=1}^N \frac{1}{k}\,.$$
[/mm]
Also (bei $N [mm] \to \infty$)
[/mm]
[mm] $$\int_0^\infty [/mm] g(x) dx [mm] \ge \sum_{k=1}^\infty [/mm] 1/k [mm] =\infty\,.$$
[/mm]
Widerspruch zu $g [mm] \in L^1\,.$ [/mm] (Beachte: [mm] $\int_{\IR}g \ge \int_{0}^\infty [/mm] g$ wegen $g [mm] \ge 0\,.$)
[/mm]
P.S.:
Die Funktionen [mm] $f_k(x)\,$ [/mm] sind nur stückweise stetig, nicht aber stetig. An $x=1/k$ ist ja [mm] $f_k(x)=f_k(1/k)=1/k\,,$ [/mm] aber für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ ist [mm] $f_k(x+\delta)=f_k(1/k\;+\delta)=1/k\;*0=0\,,$ [/mm] also die Funktion dort nicht rechtsseitig (und damit dort auch nicht) stetig. Anstatt stetig sollte da vielleicht integrierbar oder [mm] $L^1$-Funktionen [/mm] stehen.
Gruß,
Marcel
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hallo marcel,
vielen Dank für deine Hilfe und die ausführlichen Hinweise.
Viele Grüße
Richard
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