Folge und Permutation < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mi 06.11.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine beliebige, konvergente Folge [mm] $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ [/mm] in einem normierten Raum, mit Grenzwert [mm] $x_0$. [/mm] Man zeige, dass dann für jede Permutation [mm] $\pi$ [/mm] auch die neue Folge konvergent ist und zwar zum gleichen Grenzwert. |
Sei [mm] $\pi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ [/mm] die Permutation von [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] in sich.
Nun es gilt doch offensichtlich: [mm] $\{x_n:n\in \mathbb{N}\} [/mm] = [mm] \{(x_{\pi(n)} )_{n=1}^{\infty} :n\in \mathbb{N} \},$ [/mm] also wird wohl nicht nur das Konvergenzverhalten übereinstimmen sondern auch der Grenzwert.
Frage: Wie könnte ich meinen erklärten Prozess formaler aufschreiben?
Zu zeigen habe ich ja $|| [mm] x_{\pi(n)} [/mm] - [mm] x_0 ||<\epsilon$ [/mm] unter der Voraussetzung [mm] $||x_n [/mm] - [mm] x_0|| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]
Knn mir da jemand einen Tipp geben?
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Hallo clemenum,
nur so als Idee: reicht nicht die Definition des Grenzwerts einer Folge - und zwar die mit dem schwerwiegenden Begriff "fast alle"?
Dann wäre allerdings gar nichts mehr zu zeigen, was ja auch blöd ist. 
Ich lasse die Frage mal weiter offen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 06.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein N [mm] \in \InN [/mm] mit
(*) [mm] ||x_n-x_0||< \varepsilon [/mm] für n > N.
Wie unser Referent sagte, ist zu zeigen:
$ || [mm] x_{\pi(n)} [/mm] - [mm] x_0 ||<\varepsilon [/mm] $ für fast alle n.
Nimm mal an, das wäre nicht so. Dann hätten wir:
$ || [mm] x_{\pi(n)} [/mm] - [mm] x_0 [/mm] || [mm] \ge \varepsilon [/mm] $ für unendlich viele n.
Da $ [mm] \pi: \mathbb{N} \to \mathbb{N} [/mm] $ eine Bijektion ist, widerspricht das aber gewaltig dem, was in (*) steht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mi 06.11.2013 | | Autor: | clemenum |
Vielen Dank euch beiden, Reverend und Fred, ihr habt mir das Verständnis erweitert! 
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