Folge und Reihe äquivalent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:57 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Doppelreihe [mm] \summe_{i_{1},i_{2}=1}^{n}|i_{1}|^{\alpha}+|i_{2}|^{\alpha}-|{i_{1}-i_{2}}|^{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha\in(0,2). [/mm] Gibt es eine Zahl [mm] C\in\mathbb{R} [/mm] sodass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}C\frac{\summe_{i_{1},i_{2}=1}^{n}|i_{1}|^{\alpha}+|i_{2}|^{\alpha}-|{i_{1}-i_{2}}|^{\alpha}}{n^{\alpha}}=1 [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie genau muss ich hier vorgehen?
Intuitiv müsste das ja stimmen, weil ja nur der letzte summand entscheidend ist in der Reihe.
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Hallo Luke007, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Intuition trügt leicht; so auch hier.
> Gegeben sei die Doppelreihe
> [mm]\summe_{i_{1},i_{2}=1}^{n}|i_{1}|^{\alpha}+|i_{2}|^{\alpha}-|{i_{1}-i_{2}}|^{\alpha}[/mm]
> mit [mm]\alpha\in(0,2).[/mm] Gibt es eine Zahl [mm]C\in\mathbb{R}[/mm] sodass
> gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}C\frac{\summe_{i_{1},i_{2}=1}^{n}|i_{1}|^{\alpha}+|i_{2}|^{\alpha}-|{i_{1}-i_{2}}|^{\alpha}}{n^{\alpha}}=1[/mm]
> ?
>
> Wie genau muss ich hier vorgehen?
> Intuitiv müsste das ja stimmen, weil ja nur der letzte
> summand entscheidend ist in der Reihe.
Tja, da wo es in Deiner Argumentation aufhört, fängt der Spaß eigentlich erst an. Es ist nämlich nicht so, dass nur der letzte Summand hier entscheidend ist.
Nimm mal den einfachen Fall [mm] \alpha=1. [/mm] Da kann man den Reihenwert relativ leicht in einer expliziten Formel darstellen. Der Grenzwert mit einem festen C würde dann nur existieren, wenn [mm] \alpha=3 [/mm] wäre. Das aber ist aus zwei Gründen nicht möglich: erstens liegt die 3 nicht im Definitionsbereich für [mm] \alpha, [/mm] zweitens hatten wir ja gerade [mm] \alpha=1 [/mm] angenommen. Also: Widerspruch.
Mithin existiert für den Fall [mm] \alpha=1 [/mm] also kein solches C, und damit ist die Aufgabe auch schon gelöst.
Dann mal an die Arbeit. 
Viel Erfolg!
reverend
PS: Die Aufgabe wäre viel interessanter, wenn im Nenner nicht [mm] n^{\alpha}, [/mm] sondern [mm] n^{\alpha+2} [/mm] stünde. Dann ließe sich in der Tat ein [mm] C(\alpha) [/mm] bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Dass [mm] n^{\alpha +2} [/mm] funktioniert, liegt doch daran, dass [mm] |n|^{\alpha}+|n|^{\alpha}-|n-n|^{\alpha}\sim C\cdot n^{\alpha} [/mm] gilt oder? mit einer geeigneten Konstanten C.
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Hallo nochmal,
das scheint mir eine voreilige Frage zu sein, die Du mit wenig mehr Nachdenken selbst beantworten kannst.
> Dass [mm]n^{\alpha +2}[/mm] funktioniert, liegt doch daran, dass
> [mm]|n|^{\alpha}+|n|^{\alpha}-|n-n|^{\alpha}\sim C\cdot n^{\alpha}[/mm]
> gilt oder? mit einer geeigneten Konstanten C.
Nein, dieser Zusammenhang gilt nicht. C ist genau zu bestimmen (sehr einfach), aber eine Begründung für den Exponenten [mm] \alpha+2 [/mm] gewinnt man so nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Dass C=2 gilt, ist klar, aber wie genau argumentier ich bzw. wie genau suche ich nach einer Folge, die zu meiner doppelreihe asymptpotisch äquivalent ist?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Ich versuche mal mit einer einfach Reihe zu argumentieren:
[mm] \sum_{i=1}^{n}i^{\alpha}\sim{C}{n^{1+\alpha}}.
[/mm]
Ich versuche meine Überlegungen niederzuschreiben, befürchte aber sie führen nicht zum Ziel:
[mm] \frac{\sum_{i=1}^{n}i^{\alpha}}{n^{1+\alpha}}=\frac{1}{n}\sum_{}^{}\left(\frac{i}{n}\right)^{\alpha}.
[/mm]
Nun kann ich doch jeden Summand durch 1 nach oben abschätzen. Zumindest kriege ich dadurch eine [mm] $\leq$ [/mm] Beziehung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 13.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Dass C=2 gilt, ist klar, aber wie genau argumentier ich
> bzw. wie genau suche ich nach einer Folge, die zu meiner
> doppelreihe asymptpotisch äquivalent ist?
Das ist doch gar nicht die Aufgabe. Machs dir nicht schwerer, als es sowieso schon ist. Lös erstmal den Fall [mm] \alpha=1, [/mm] dann bist Du mit Deiner Aufgabe fertig. Alles weitere ist eine zusätzliche Herausforderung. Ich weiß nicht, ob ihr die dazu nötigen mathematischen Mittel schon behandelt habt. Jedenfalls ist es ungleich schwieriger.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Ok, ich habe nun verstanden, warum es eine solche Konstante für [mm] \alpha=1 [/mm] nicht geben kann. Ich habe den Wert der Doppelreihe explizit mit dem kleinen Gauss ausgerechnet. Und das [mm] n^{} [/mm] im Nenner reicht nicht. Für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] explodiert die linke Seite.
Mich würde aber dennoch interessieren, warum
[mm] \sum_{i,j}^{n}i^\alpha +j^\alpha -\left|i-j\right|^{\alpha}\sim C\left(\alpha\right)n^{2+\alpha} [/mm] gilt. Wobei mir die konkrete Gestalt von [mm] C\left(\alpha\right) [/mm] egal ist.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:39 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Kann mir zumindest jemand einen Hinweis geben, wie ich diese asymptotische Äquivalenz halbwegs sinnvoll begründen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 13.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Wenn mir die Gestalt der Konstanten [mm] C\left(\alpha\right) [/mm] egal ist, gilt also [mm] \sum_{i,j=1}^{n}i^{\alpha}+j^{\alpha}-\left|i-j\right|^{\alpha}\sim C\left(\alpha\right)n^{\alpha+2}.
[/mm]
Die 2 im Exponenten liegt wohl daran dass es eine Doppelreihe ist. Wenn es eine einfache Reihe wäre, stünde dort eine 1.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:16 So 11.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Ok Also, ich fasse nochmal zusammen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}C(\alpha)\frac{\summe_{i_{1},i_{2}=1}^{n}|i_{1}|^{\alpha}+|i_{2}|^{\alpha}-|{i_{1}-i_{2}}|^{\alpha}}{n^{\alpha+2}}=1
[/mm]
Für irgendein [mm] C(\alpha). [/mm] Wie genau das aussieht interessiert mich nicht. Und ein Beweis dieser Aussage interessiert mich auch nicht, Hauptsache mir kann jemand bestätigen dass diese Aussage stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 13.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 01:30 Mo 19.08.2013 | | Autor: | Luke007 |
Es geht um folgendes:
Sei [mm] \alpha\in\left(0,2\right).
[/mm]
Gilt folgende asymptotische Beziehung?
[mm] \text{lim}_{n\rightarrow\infty}C\left(\alpha\right)\frac{\sum_{i_{1},i_{2}=1}^{n} |i_{1}|^{\alpha}+|i_{2}|^{\alpha}-|{i_{1}-i_{2}}|^{\alpha}}{n^{\alpha+2}}=1?
[/mm]
Für irgendeine Konstante [mm] C\left(\alpha\right), [/mm] wobei mir die Gestalt völlig egal ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 31.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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