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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mo 03.11.2008 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen [mm] x_{n} [/mm] von Vektoren [mm] x_{n} [/mm] auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}
[/mm]
[mm] x_{n}= \vektor{\cos(1+\bruch{1}{2}+.....\bruch{1}{n}) \\ \sin(1+\bruch{1}{2}+.....\bruch{1}{n})}
[/mm]
[mm] x_{n}= \vektor{\bruch{1}{n} \\ \summe_{i=k}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k}\\ n^{1/n}} [/mm] |
Folgende Überlegung zum ersten Teil der Aufgabe:
alles was in der Klammer des cos steht wird bei hinreichend großem n gegen 1 gehen. Das selbe gilt für den sin
cos(1)= 0,54
sin(1)=0,841
beim zweiten Teil der Aufgabe:
Ich gehe wieder n gegen unendlich
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 0
[mm] \summe_{i=k}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k} [/mm] = 0
[mm] n^{1/n} [/mm] = [mm] n^{0} [/mm] =1
Vielen Dank für die Bemühungen
Lg
Martin
Erst Poster Satz:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Das stimmt so nicht. Denn die harmonische Reihe [mm] $1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+...+\bruch{1}{n}+... [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] ist divergent!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Hast Du hier auch alles richtig abgetippt? Ich vermute mal eher, die "mittlere" Folge soll lauten:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^k}{k}$$
[/mm]
Diese Reihe konvergiert, aber nicht gegen den von Dir genannten Wert sondern gegen [mm] $\ln(2)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 03.11.2008 | | Autor: | martin7 |
> Hallo Martin!
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> Hast Du hier auch alles richtig abgetippt? Ich vermute mal
> eher, die "mittlere" Folge soll lauten:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^k}{k}[/mm]
ja stimmt da hast du Recht Tippfehler
>
> Diese Reihe konvergiert, aber nicht gegen den von Dir
> genannten Wert sondern gegen [mm]\ln(2)[/mm] .
habe das ganze im MathCAD überprüft ln (2)
Wie kann ich das ohne MathCAD sehen?
Lg
martin
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> > Diese Reihe konvergiert, aber nicht gegen den von Dir
> > genannten Wert sondern gegen [mm]\ln(2)[/mm] .
>
> Wie kann ich das ohne MathCAD sehen?
Dieser Grenzwert ergibt sich aus der Reihenentwicklung des Logarithmus mit dem Spezialfall $x \ = \ 0$ :
[mm] $$\ln(1+x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{n}*x^n$$
[/mm]
(siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Di 04.11.2008 | | Autor: | martin7 |
Hallo Loddar!
> Dieser Grenzwert ergibt sich aus der Reihenentwicklung des
> Logarithmus mit dem Spezialfall [mm]x \ = \ 0[/mm] :
> [mm]\ln(1+x) \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{n}*x^n[/mm]
>
> (siehe auch
> hier)
>
Ist das nicht die alternierende harmonische Reihe?
Die konvergiert gegen ln(2)
und bei dem ersten Teil der Aufgabe ist das was beim cos und sin in der Klammer steht die harmonische Reihe. Diese divergiert wie wir wissen
Aber was ist wenn ich
[mm] cos(\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}) [/mm] bilde???
der cosinus darf ja maximal 1 in der klammer stehen haben
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> Ist das nicht die alternierende harmonische Reihe?
> Die konvergiert gegen ln(2)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber was ist wenn ich
>
> [mm]cos(\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n})[/mm] bilde???
>
> der cosinus darf ja maximal 1 in der klammer stehen haben
Das stimmt so nicht. Du kannst ja von jedem beliebigen, reellen Wert den cos-Wert berechnen. Die Funktionswerte liegen dann im Intervall [mm] $\left[ \ -1 \ ; \ +1 \ \right]$ [/mm] .
Allerdings konvergiert die cos-Funktion an sich nicht für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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