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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Fr 25.11.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man zeige, dass die durch [mm] a_0 [/mm] = 0 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + 1/4
de nierte Folge konvergiert und berechne ihren Grenzwert. |
[mm] a_1 [/mm] = 1/4
[mm] a_2 [/mm] = 5/16
[mm] a_3 [/mm] = 89/256
. Beschränktheit
. Monotonie
[mm] a_n \ge [/mm] 1/4
[mm] a_n [/mm] - 1/4 [mm] \ge [/mm] 0
I.Anfang 1/4 - 1/4 [mm] \ge [/mm] 0
I.Annahme [mm] a_n [/mm] - 1/4 [mm] \ge [/mm] 0
I.Schritt
[mm] a_{n+1} [/mm] - 1/4 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] a_n^2 [/mm] + 1/4 - 1/4 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] a_n^2 \ge [/mm] 0
Quadrat soundso positiv -> Stimmt
Vermutung
[mm] a_n [/mm] < 1/2
0 < 1/2 - [mm] a_n
[/mm]
I.Anfang 0 < 1/2 - 1/4
I.Annahme 0 < 1/2 - [mm] a_n
[/mm]
I. Schritt 0 < 1/2 - [mm] a_{n+1}
[/mm]
0 < 1/2 - [mm] a_n^2 [/mm] - 1/4
0 < 1/4 - [mm] a_n^2
[/mm]
- [mm] a_n^2 [/mm] -> negativ und [mm] a_n^2 [/mm] < [mm] (1/2)^2 [/mm]
da ja quadrate von zahlen 0 [mm] \le a_n [/mm] < 1/2 nicht größer werden)
[mm] a_n^2 [/mm] < 1/4 so aussage korrekt!
Monotonie:
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n
[/mm]
[mm] a_n^2 [/mm] +1/4 - [mm] a_n
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = 1/2
1/2 > 0
so wachsend
Bei der zweiten Induktion bin ich mir sehr unsicher, was die Begründung angeht. Kann sich das wer kurz anschauen?
Grenzwert:
lim [mm] a_n [/mm] = lim [mm] a_{n+1}
[/mm]
n -> infty
a= [mm] a^2 [/mm] + 1/4
0 = [mm] a^2 [/mm] - a + 1/4
a= 1/2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Die Begründung für [mm]0<1/4-a_n^2[/mm] ergibt sich aus der Annahme [mm]a_n<1/2[/mm].
Dein Monotonienachweis überläßt viel der Phantasie des Lesers.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Fr 25.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Ja
$ [mm] a_n^2 [/mm] $ < [mm] 1/2^2 [/mm] = 1/4
0 < 1/4 - [mm] a_n^2
[/mm]
wenn man nur weniger als 1/4 abziehen kann wird es nicht kleiner als 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Fr 25.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.
[mm] a_n>1/4 [/mm] braucht keine induktion, da [mm] 1/4+a_n^2>1/4 [/mm] immer gilt
2.
Monotonie:
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $
$ [mm] a_n^2 [/mm] $ +1/4 - $ [mm] a_n [/mm] $
$ [mm] a_n [/mm] $ = 1/2
1/2 > 0
so wachsend
ist kein Bweweis:
insbesondere da da steht [mm] a_n=1/2 [/mm] was ausser für den GW falsch ist.
schreibe [mm] a_{n+1}-a_n=(...)^2\ge [/mm] 0 gilt für alle Quadrate.
dann hast du was du willst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Fr 25.11.2011 | | Autor: | quasimo |
schreibe $ [mm] a_{n+1}-a_n=(...)^2\ge [/mm] $ 0 gilt für alle Quadrate.
dann hast du was du willst.
Ich verstehe nicht was du meinst...
was ist [mm] (...)^2 [/mm] ?
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n
[/mm]
[mm] a_n^2 [/mm] + 1/4 - [mm] a_n
[/mm]
dannach hab ich die pq-Formel verwendet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo quasimo!
> Ich verstehe nicht was du meinst...
> was ist [mm](...)^2[/mm] ?
Das gilt es durch Umformungen zu erhalten.
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm]
> [mm]a_n^2[/mm] + 1/4 - [mm]a_n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun mal an eine binomische Formel denken.
> dannach hab ich die pq-Formel verwendet
Auch möglich. Was hast Du erhalten?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
1/2 erhalte ich
Wie gehts dann hier weiter?=
Binomische Formel
[mm] a_n^2 [/mm] + 1/4 - [mm] a_n
[/mm]
[mm] a_n^2 [/mm] - [mm] a_n [/mm] + 1/4
[mm] (a_n [/mm] - [mm] 1/2)^2 [/mm]
positiv
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> Binomische Formel
> [mm]a_n^2[/mm] + 1/4 - [mm]a_n[/mm]
> [mm]a_n^2[/mm] - [mm]a_n[/mm] + 1/4
> [mm](a_n[/mm] - [mm]1/2)^2[/mm]
Es wäre gut, wenn du bei Gleichungen auch ein "=" verwenden würdest (erhöht die Lesbarkeit). Ansonsten stimmt das so.
> positiv
Damit ist die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt, konvergiert also. Für den Grenzwert a gilt
[mm] a=a^2+\tfrac{1}{4}.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Ich möchte keinen neuen Post öffnen, da es eine relativ ähnliche Frage ist:
Beispiel: [mm] a_0 [/mm] =5, [mm] a_{n+1} [/mm] = 3 - [mm] 2/a_n
[/mm]
Beschränktheit hab ich 2 < [mm] a_n [/mm] < 5
Monotonie hab ich schwierigkeiten:
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}
[/mm]
<0 wachsend
>0 fallend
[mm] a_n [/mm] - 3 + [mm] 2/a_n
[/mm]
darf ich hier argumentieren mit der Beschränktheit?
Dass wenn man ein [mm] a_n [/mm] > 2 hat der ausdruck immer positiv ist, also fallend!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du darfst für die monotonie immer die vorher gezeigte Beschränktheit benutzen, nur seh ich grade nicht, wie dir das hier mit [mm] a_n>2 [/mm] hilft. Das musst du genauer begründen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Wenn ich 2 in den Ausdruck einsetze ergibt das 0
Da [mm] a_n [/mm] >2 wird der ausdruck > 0
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Hallo quasimo,
du hast immer noch nicht begriffen, dass das hier kein Chat ist.
Hier gibt es eine ganze Reihe von Leuten, die sich als Helfer engagieren. Wenn Du nur einen solchen Beitrag schreibst:
> Wenn ich 2 in den Ausdruck einsetze ergibt das 0
> Da [mm]a_n[/mm] >2 wird der ausdruck > 0
..., kann damit niemand etwas anfangen, der neu in die Diskussion einsteigt. In diesem Fall allerdings hilft noch nicht einmal, die vorhergehenden Beiträge zu lesen.
Ich rate mal, was Du da eigentlich wissen willst.
Wenn Du für verschiedene Werte von [mm] a_n [/mm] unterschiedliche Aussagen über [mm] a_{n+1} [/mm] treffen kannst - wie hier bezüglich der Monotonie der Folge -, dann musst Du von einem bekannten Folgenglied ausgehen. Stimmt die Aussage dann auch für das nächste? Und das über...nächste?
Es ist ein bisschen wie vollständige Induktion, die man hier in der Tat mitdenkt, aber nicht ganz ausführen muss.
Und ansonsten: schreib vollständige, vernünftige Fragen, möglichst mit dem dazu nötigen Zitat der Aufgabenstellung bzw. dem eigentlich behandelten Thema.
Wenn Du das nicht tust, dann kann eigentlich nur noch jemand antworten, der die ganze Diskussion verfolgt hat, und damit meistens auch nur noch derjenige/diejenige, der/die Dir zuletzt geantwortet hat.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Ich wollte leduart damit nur antworten, was hat das mit CHat zu tun?.
Ich kann die Frage genauso nochmal posten:
Beispiel: $ [mm] a_0 [/mm] $ =5, $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = 3 - $ [mm] 2/a_n [/mm] $
Beschränktheit hab ich 2 < $ [mm] a_n [/mm] $ < 5
Monotonie hab ich schwierigkeiten:
$ [mm] a_n [/mm] $ - $ [mm] a_{n+1} [/mm] $
<0 wachsend
>0 fallend
$ [mm] a_n [/mm] $ - 3 + $ [mm] 2/a_n [/mm] $
wenn ich 2 einsetze für [mm] a_n [/mm] wird der Ausruck 0 , da $ [mm] a_n [/mm] $ > 2 (Beschränktheit bewiesen) wird der ausdruck immer positiv ist, also ist die Folge fallend!
Darf ich so argumentiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du 2 einsetzt wird der ausdruck 0 ist richtig. warum aber wird er kleiner oder größer 0 wenn du [mm] a_n>2 [/mm] einsetzt?
das musst du schon zeigen!
(neben einer nullstelle kann doch eine funktion püs oder negativ sein.
ich sag ja nicht, es ist falsch, nur du hast nichts gezeigt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
<0 wachsend
>0 fallend
$ [mm] a_n [/mm] $ - 3 + $ [mm] 2/a_n [/mm] $
Wenn ich was größer als 2 für [mm] a_n [/mm] einsetze wird der Ausdruck >0
Muss ich also eine vollständige Induktion anführen? Oder wie beweise ich dass dann am besten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst mehr rumprobieren! Wenn man sich nur vorrechnen lässt lern man nix. dass a=2 ist hast du doch wohl auch aus der Gleichung, die du in eine quadrateische umgeformt hast?
also Vors. [mm] a_n>2 ->a_n^2>4
[/mm]
mach damit weiter. [mm] a_n^2-3a_n+2=....>0 [/mm] dann durch [mm] a_n>0 [/mm] dividieren! die ... musst du nun schon selbst machen und [mm] a_n>2 [/mm] benutzen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Ich gebs auf, du verwirrst einen irsinnig, hat dir das schon mal ein Fragender geschrieben=?
Tschau
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:38 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
$ [mm] a_n [/mm] $ - $ [mm] a_{n+1} [/mm] $
<0 wachsend
>0 fallend
$ [mm] a_n [/mm] $ - 3 + $ [mm] 2/a_n [/mm] $
[mm] a_n^ [/mm] - [mm] 3a_n [/mm] + 2 =0
Lösungen: [mm] a_n_1 [/mm] = 2, [mm] a_n_2 [/mm] = 1
[mm] (a_n [/mm] - 2) * [mm] (a_n [/mm] - 1)
da [mm] a_n [/mm] > 2 ist
ist
[mm] (a_n [/mm] - 2) * [mm] (a_n [/mm] - 1)> 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 28.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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