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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Mo 21.11.2005
Autor: roxy

´morgen,
wer kann mir da ein Tipp geben:

Es seinen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] Folgen in [mm] \IN, [/mm] mit [mm] a_{n} \to [/mm] a, [mm] b_{n} \to [/mm] b und n [mm] ->\infty. [/mm] Zeigen Sie, dass gilt b  [mm] \not= [/mm] 0  [mm] \Rightarrow [/mm] fast alle [mm] b_{n} \not= [/mm] 0 und  [mm] \bruch{a_{n}}{b_{n}} \to \bruch{a}{b}. [/mm]

Das ist doch offensichtlich!!!...wie kann ich das beweisen??
Danke

        
Bezug
Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Mo 21.11.2005
Autor: angela.h.b.


> ´morgen,
>  wer kann mir da ein Tipp geben:
>  
> Es seinen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] Folgen in [mm]\IN,[/mm] mit [mm]a_{n} \to[/mm] a,
> [mm]b_{n} \to[/mm] b und n [mm]->\infty.[/mm] Zeigen Sie, dass gilt b  [mm]\not=[/mm]
> 0  [mm]\Rightarrow[/mm] fast alle [mm]b_{n} \not=[/mm] 0 und  
> [mm]\bruch{a_{n}}{b_{n}} \to \bruch{a}{b}.[/mm]
>  
> Das ist doch offensichtlich!!!...wie kann ich das
> beweisen??

Hallo,

ist es wirklich sooooooooooo offensichtlich?

Ich würde mir die Sache ein wenig vereinfachen, und zunächst zeigen, daß fast alle [mm] b_n\not= [/mm] 0 und  [mm] \bruch{1}{b_n} \to \bruch{1}{b}. [/mm]

Der Rest ergibt sich dann aus dem Satz übers Produkt konvergenter Folgen, welchen Ihr bestimmt schon bewiesen habt, und welcher daher nur angewendeet werden muß zum Schluß.

Was bedeutet eigentlich " fast alle [mm] b_n\not= [/mm] 0" ? Das bedeutet, es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] so, daß für alle n>N gilt [mm] b_n \not= [/mm] 0.

Wir wissen ja, daß [mm] (b_n) [/mm] gegen b konvergiert. Wende nun einmal die [mm] \varepsilon-Bedingung [/mm] auf [mm] \varepsilon= \bruch{|b|}{2 an} [/mm] .
Da kriegst du, was Du Dir zu kriegen wünschst.

So. Nun nimmst du dein [mm] \varepsilon [/mm] von eben und das N von eben.

Dann gilt für alle n>N

| [mm] \bruch{1}{b_n}- \bruch{1}{b}| [/mm] =... < [mm] \varepsilon. [/mm]

Bei Der Abschätzung mußt Du die Informationen, die Du über die [mm] b_n [/mm] mit n>N hast, ausreizen.

Gruß v. Angela



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