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Folgen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Di 04.08.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Aufgabe: Grenzwerte
Bestimmen Sie, falls Konvergenz der Folge oder Funktion vorliegt, die Grenzwerte für n ∊ N bzw. t > 0
5)  lim┬(n→∞)⁡〖(   2n-1)/(2 n)〗 √(n&2)
6) lim┬(n→∞)⁡〖(   [mm] (-1)^n 2n)/(2n^3- n^2 [/mm] )〗
7) lim┬(n→∞)⁡〖( 2 (1+ [mm] (-1)^n)/7〗 [/mm]
8) lim┬(a→0)⁡〖 ( 1)/(1-r)〗 (1 - a^(1-r))       für a, r > 0   und   r ǂ 1
9) [mm] lim┬(n→∞)⁡〖(y/θ)^n [/mm] 〗       für  0 < y < θ
10) lim┬(t→∞)⁡〖 (   S)/(1+ [mm] (d/t)^c [/mm] )〗         mit  c, d, S > 0
11) lim┬(t→0)⁡〖 (   S)/(1+ [mm] (d/t)^c [/mm] )〗         mit  c, d, S > 0

Ich habe auch die Lösungen zu diesen Aufgaben:
5) 1     6) 0     7) divergent     8) ( 1)/(1-r) für 0 < r < 1           divergent für  r > 1     9) 0     10) S     11) 0
Aber ich zweifele an meinen Lösungsmethoden, denn ich habe fast keine Vorkenntnisse bzgl. Folgen. Gibt es stattdessen professionellere Lösungsmethoden?
Meine Lösungswege, mit denen ich die geg. Lösungen erhalte:
5)  den Bruch  (   2n-1)/(2 n)  erweitere ich mit  1/n  und erhalte 1. Die Wurzel gebe ich in  mathe-fa.de  ein und sehe dann den Kurvenverlauf.
6)  analog 5) und die Folge alterniert.
7)  die Folg alterniert, strebt aber gegen 0.
8)  1 – r  mit  r > 0  und  r ǂ 1 :   Werte, die  1 – r  annehmen kann:   {x| x < 0  v  0 < x < 1}
Für  a^(1-r)  benutze ich wieder  mathe-fa.de
9)  Es gilt   y/θ < 1  also fallende Exponentialfunktion
10)  t→∞:  d/t  geht gegen  0   =>   [mm] (d/t)^c [/mm]  ist eine Potenzfunktion und geht gegen 0  für alle c.
11)  t→0:  d/t  geht gegen  ∞   =>   [mm] (d/t)^c [/mm]  ist eine Potenzfunktion und geht gegen ∞  für alle c.

        
Bezug
Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Di 04.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorab: Deine Aufgaben kann kein Mensch lesen und es wäre munteres Rätselraten…
bitte benutze doch den Formeleditor.

Ich rate mal…
>  5)  lim┬(n→∞)⁡〖(   2n-1)/(2 n)〗 √(n&2)

Das soll vermutlich was werden wie: [mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{2n-1}{2n} \wurzel{\frac{n}{2}}$ [/mm]
>  5)  den Bruch  (   2n-1)/(2 n)  erweitere ich mit  1/n  
> und erhalte 1. Die Wurzel gebe ich in  mathe-fa.de  ein und
> sehe dann den Kurvenverlauf.

Für den ersten Teil ist das ok… die Wurzel geht dann gegen?

>  6) lim┬(n→∞)⁡〖(   [mm](-1)^n 2n)/(2n^3- n^2[/mm] )〗

Rätselraten: [mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{(-1)^n 2n}{2n^3 - n^2}$? [/mm]

Für Brüche gilt immer: Höchste Potenz ausklammern oben und unten… bzw gleichbedeutend: Mit dem Kehrwert der höchsten Potenz erweitern (was du bei 5) ja bereits getan hast).

>  7) lim┬(n→∞)⁡〖( 2 (1+ [mm](-1)^n)/7〗[/mm]

*orakel orakel*
[mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{2(1+(-1)^n)}{7}$ [/mm]

>  7)  die Folg alterniert, strebt aber gegen 0.

Da [mm] $1+(-1)^n \ge [/mm] 0$ alterniert da gar nix.
Betrachte mal gerade und ungerade Folgenglieder seperat.
Geht die Folge der ungeraden Folgenglieder gegen 0?


>  8) lim┬(a→0)⁡〖 ( 1)/(1-r)〗 (1 - a^(1-r))      

*orakel* [mm] $\lim_{a\to 0} \bruch {1-a^{1-r}}{1-r}$ [/mm]

Hier benötigst du eine Fallunterscheidung und keine Internetseite:
Für $r<1$ ist $1-r>0$ und damit ist die Frage analog zu: Was ist [mm] a^k [/mm] für $k>0$ und $a [mm] \to [/mm] 0$?

Für $r>1$ ist $1-r <0$.
Was ist [mm] $a^k$ [/mm] wenn $k<0$ gilt?
Betrachte dann $a [mm] \to [/mm] 0$.

>  9) [mm]lim┬(n→∞)⁡〖(y/θ)^n[/mm] 〗       für  0 < y < θ

*orakel* [mm] $\lim_{n\to\infty} \left(\bruch{y}{\theta}\right)^n$ [/mm]

>  9)  Es gilt   y/θ < 1  also fallende Exponentialfunktion

[ok]
Und was ist nun der Grenzwert?

>  10) lim┬(t→∞)⁡〖 (   S)/(1+ [mm](d/t)^c[/mm] )〗        
> mit  c, d, S > 0

*orakel* [mm] $\lim_{t\to\infty} \bruch{S}{1+\left(\bruch{d}{t}\right)^c}$ [/mm]

>  10)  t→∞:  d/t  geht gegen  0   =>   [mm](d/t)^c[/mm]  ist eine
> Potenzfunktion und geht gegen 0  für alle c.

[ok]
Was ist nun also der Grenzwert?

>  11) lim┬(t→0)⁡〖 (   S)/(1+ [mm](d/t)^c[/mm] )〗  

*orakel* [mm] $\lim_{t\to 0} \bruch{S}{1+\left(\bruch{d}{t}\right)^c}$ [/mm]
      
>  11)  t→0:  d/t  geht gegen  ∞   =>   [mm](d/t)^c[/mm]  ist eine
> Potenzfunktion und geht gegen ∞  für alle c.

[notok]
Was passiert, wenn $t < 0$ permanent gilt?
Was passiert, wenn [mm] $t\to [/mm] 0$ aber alternierend, mal positiv, mal negativ?

Gruß,
Gono

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