www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Folgen
Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Folgen: Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:04 So 25.11.2007
Autor: Archimed

Aufgabe
a) Sei [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine Folge positiver Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n_+_1}{a_n} [/mm] = a. Zeige, dass dann [mm] \wurzel[n]{a_n} \to [/mm] a, n [mm] \to \infty. [/mm]
b) Bestimme mit a) die Grenzwerte von [mm] \wurzel[n]{n}, \wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}} [/mm] und [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n!}} [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Was kann man über die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n\wurzel[n]{a_n} [/mm] aussagen?

Wie soll ich hier vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Folgen: a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mo 26.11.2007
Autor: Somebody


> a) Sei [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] eine Folge positiver Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n_+_1}{a_n}[/mm] = a.

Da die [mm] $a_n$ [/mm] positive Zahlen sind, dürfen wir $a>0$ annehmen. Aus [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ [/mm] folgt daher, dass es für alle [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ (wobei wir zudem [mm] $\varepsilon [/mm] < a$ annehmen wollen) ein [mm] $n_0\in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt: [mm] $a-\varepsilon \leq \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq a+\varepsilon$, [/mm] oder, äquivalent dazu [mm] $(a-\varepsilon)a_n\leq a_{n+1}\leq (a+\varepsilon)$. [/mm]

Daraus folgt, für alle [mm] $n>n_0$: $(a-\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}\leq a_n\leq (a+\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}$. [/mm] Also:

[mm]\sqrt[n]{(a-\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}}\leq \sqrt[n]{a_n}\leq \sqrt[n]{(a+\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}}[/mm]


Für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] geht aber die untere Schranke dieser Abschätzung von [mm] $\sqrt[n]{a_n}$ [/mm] gegen [mm] $a-\varepsilon$ [/mm] und die obere Schranke gegen [mm] $a+\varepsilon$. [/mm] Da [mm] $\varepsilon$ [/mm] beliebig klein, $>0$ gewählt werden kann, folgt die Behauptung.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]