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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 29.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Es sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (|a_{n}|)_{n \in \IN} [/mm] gegen |a| konvergiert. |
Also ich dachte daran dass :
[mm] |a_{n}-a| [/mm] = Nullfolge sein muss wenn a der grenzwert von [mm] a_{n} [/mm] ist.
dann wär bei [mm] (|a_{n}|)_{n \in \IN} [/mm] :
| [mm] |a_{n}| [/mm] - |a| | = [mm] |a_{n} [/mm] - a| = Nullfolge (weil lim [mm] a_{n}=a) [/mm]
Daher ist |a| der grenzwert zu [mm] (|a_{n}|)_{n \in \IN}.
[/mm]
Kann ich das so schreiben ??
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Hallo Ayame,
> Es sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine konvergente Folge mit dem
> Grenzwert a. Zeigen Sie, dass die Folge [mm](|a_{n}|)_{n \in \IN}[/mm]
> gegen |a| konvergiert.
> Also ich dachte daran dass :
>
> [mm]|a_{n}-a|[/mm] = Nullfolge sein muss wenn a der grenzwert von
> [mm]a_{n}[/mm] ist.
>
> dann wär bei [mm](|a_{n}|)_{n \in \IN}[/mm] :
> | [mm]|a_{n}|[/mm] - |a| | = [mm]|a_{n}[/mm] - a| = Nullfolge (weil lim
> [mm]a_{n}=a)[/mm]
>
> Daher ist |a| der grenzwert zu [mm](|a_{n}|)_{n \in \IN}.[/mm]
>
> Kann ich das so schreiben ??
Leider nicht - die Grundidee ist richtig, aber die Gleichung
[mm] $||a_{n}| [/mm] - |a| | = [mm] |a_{n}- [/mm] a|$
aber im Allgemeinen falsch. Richtig dagegen ist:
[mm] $||a_{n}| [/mm] - |a| | [mm] \le |a_{n}- [/mm] a|$,
was eigentlich fast noch schöner für den Beweis ist. (Falls ihr das in der Vorlesung noch nicht bewiesen haben solltet, kannst du ja schnell den Beweis führen, aber ihr solltet das gehabt haben...).
So, nun ist noch die Frage, wie genau ihr das aufschreiben sollt. Es stimmt zwar grundsätzlich, dass dann [mm] |a_{n}-a| [/mm] eine Nullfolge usw. ist;
aber probier es trotzdem mal, das ganze mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Definition der Konvergenz aufzuschreiben, dann bist du auf der sicheren Seite.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 29.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Leider hatten wir den beweis für [mm] ||a_{n}|-|a|| \le |a_{n}-a| [/mm] noch nicht.
soll ich für den beweis eine fallunterscheidung machen
[mm] a_{n} [/mm] > 0 und [mm] a_{n} [/mm] > a
[mm] a_{n} \le [/mm] und [mm] a_{n} \le [/mm] a usw. ???
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Hallo Ayame,
> Leider hatten wir den beweis für [mm]||a_{n}|-|a|| \le |a_{n}-a|[/mm]
> noch nicht.
>
> soll ich für den beweis eine fallunterscheidung machen
>
> [mm]a_{n}[/mm] > 0 und [mm]a_{n}[/mm] > a
> [mm]a_{n} \le[/mm] und [mm]a_{n} \le[/mm] a usw. ???
Nein, das geht mit der Dreiecksungleichung.
Zu zeigen: $||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b|$
Beweis: Wir zeigen
$|a| -|b| [mm] \le [/mm] |a-b|$
und
$-(|a|-|b|) [mm] \le [/mm] |a-b|$,
daraus folgt dann die Behauptung.
Es ist
$|a| = |a-b+b| [mm] \le [/mm] |a-b| + |b| [mm] \Rightarrow [/mm] |a|-|b| [mm] \le [/mm] |a-b|$
$|b| = [mm] |b-a+a| \le [/mm] |b-a| + |a| [mm] \Rightarrow |b|-|a|\le [/mm] |b-a| = |a-b|$
q.e.d.
So, nun wende dich wieder dem Hauptbeweis zu 
Grüße,
Stefan
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